Теория электрических цепей (стр. 3 из 4)
Далее рассмотрим вопросы описания цепей и формирование уравнений переходных процессов в электрических цепях методом переменных состояния.
Уравнения переходных процессов- математические модели электрических цепей включают в себя уравнения компонентные и топологические.
Компонентные уравнения описывают электрические свойства компонентов ( элементов) цепи. Для линейных двухполюсников (резистора, конденсатора и катушки индуктивности) эти уравнения имеют следующий вид:
Ur = Ir * R , Ic =C * DUc/ dt и Ul = L * DIl /dt,
где R,C и L- сопротивление, емкость и индуктивность; U и I -напряжение и ток в компоненте, причем индекс характеризует принадлежность переменной компоненту определенного типа.
Сложные компоненты (например, диоды, транзисторы и т.д.) имеют модели из нескольких уравнений. Обычно эти уравнения составляются на основании эквивалентных схем замещения сложных компонентов, состоящих из двухполюсных элементов линейных и нелинейных. Нелинейные безынерционные двухполюсники в эквивалентных схемах чаще всего описываются зависимыми источниками тока I = F1 (U) или напряжения U =F2 (I) . Инерционные нелинейные двухполюсники описываются зависимыми емкостями, индуктивностями или источниками. Уравнения этих элементов связывают не только токи и напряжения, но и производные по времени некоторых из этих величин. Получение компонентных уравнений или соответствующих им эквивалентных схем - самостоятельная задача моделирования элементов электрических цепей [6;7].
Топологические уравнения отражают связи между компонентами (элементами) электрической цепи и составляются на основании законов Кирхгофа. В методах получения уравнений важное значение имеет так называемая М-матрица – матрица контуров и сечений. Эта матрица содержит в себе полную информацию о структуре эквивалентной схемы (ЭС) рассматриваемой электрической цепи. Строки М-матрицы в закодированном виде отображают уравнения закона напряжений Кирхгофа для выбранных контуров схемы, а столбцы М-матрицы – уравнения закона токов Кирхгофа для сечения схемы. Целью построения М-матрицы является упрощение процедуры формирования математической модели ЭС электрической цепи.
При построении М-матрицы используют некоторые понятия теории графов. Граф также как и эквивалентная схема электрической цепи содержит ветви и узлы (называемые вершинами). Ветви графа, соответствующие двухполюсным ветвям эквивалентной схемы представляют собой линии произвольной длины и формы. Вершины графа соответствуют узлам эквивалентной схемы.
Важным понятием теории графа является дерево графа, под которым понимают совокупность β-1 ветвей, соединяющих все узлы, не образующих ни одного контура. Ветви дерева называют ребрами, а ветви графа, не вошедшие в дерево - хордами, связями. В любом графе можно выделить более чем одного дерево. Процесс построение М - матрицы, следовательно, получение ММ в методе переменных состояния начинается с построения нормального дерева, в которое в ветви графа включаются со следующим приоритетом: сначала ветви источников ЭДС Е, затем ветви С и далее ветви R и L. Ветви источников токов J не включаются в нормальное дерево. Построение нормального дерева графа приводит к разбиению множества ветвей схемы В на подмножества ребер Р и хорд Х. При этом определяются контуры и сечения эквивалентной схемы, для которых составляются уравнения по законам
TR=
T1 0 3 6 7
T2 0 4 6 7
T3 0 5 6 8
T4 0 10 5 0
T5 0 8 9 0
T6 0 7 11 0
D1 0 12 13 12
D2 0 13 1 13
В массиве U= указаны начальные и конечные узлы, между которыми включены двухполюсные ветви схемы: источники напряжения, емкости и резисторы. В массиве TR= перечислены узлы подключения транзисторов в следующей последовательности: база, эмиттер и коллектор. Диод представлен как транзистор, у которого коллектор и база закорочены. В первом столбце массива TR= указаны нули (“0”), которые указывают на то, что в схеме ЭСЛ используются транзисторы n-p-n-типа.
Предполагается, что все транзисторы проводимости n-p-n-типа имеют одинаковую физическую структуру и при моделировании для них используются модифицированные модели Эберса-Молла.
 |
Для параметров входного импульса напряжения с начальным значением Е4=-1.7В указаны следующие числовые значения:
IMPULSE = 1
После коррекции дерева на экран будет выдана топологическая матрица контуров и сечений. После нажатия клавиши (любой) будет проведен расчет напряжений в схеме и результат анализа выдан в табличной или графической форме (в зависимости от выбранного режима), а также построена передаточная характеристика. Для остановки процесса вычислений необходимо нажать любую клавишу. Нажатие клавиши Enter приведет к возврату в операционную систему
5.2. Пример подготовки данных для расчета схем на компьютере
Рассмотрим методику подготовки и описания данных для расчета тестовой схемы на компьютере с помощью программы анализа. На рис.3, на котором в качестве тестовой схемы приведена ЭСЛ схема, указаны номера узлов и направление токов, принятые за положительные. Предполагается выводить значения напряжений на входах и выходах схемы.
Описание топологии схемы ЭСЛ (рис.3) имеет следующий вид:
СТ=6 {количество транзисторов}
CD=2 {количество диодов}
CE=4 {количество источников напряжений}
CC=2 {количество емкостей}
CR=8 {количество резисторов}
CU=14 {количество узлов в схеме}
CV=14 {количество ветвей в схеме}
U=
E1 1 0
E2 2 0
E3 3 0
E4 4 0
C1 0 9
C2 0 11
R1 0 10
R2 10 12
R3 5 1
R4 6 1
R5 0 7
R6 0 8
R7 13 2
R8 11 2
Кирхгофа. Количество таких контуров равно количеству хорд nx. , а количество сечений - количеству ребер np. При присоединении каждой i-й хорды к дереву получаем i-й контур, называемый контуром i-й хорды.
Сечением j-о ребра называют совокупность ветвей, пересекаемых замкнутой линией (линией сечения) при выполнении следующих условий: 1) любая ветвь может пересекаться не более одного раза; 2) в сечение должно входить единственное j-е ребро. Такие сечения называют главными сечениями.
Рассмотрим нелинейную электрическую цепь, показанную на рис.1а. Эквивалентная схема (ЭС) этой цепи, в которой нелинейный многополюсник - транзистор представлен упрощенной схемой замещения - моделью (рис.2), дана на рис.1б. На рис.1в представлен направленный граф ЭС нелинейной цепи, где стрелками показаны выбранные положительные направления токов, узлы пронумерованы от 1 до 8. Следует отметить, что направления токов в ветвях модели транзистора выбираются в соответствии с типом его проводимости, как показано на рис.2. Для остальных ветвей ЭС электрической цепи токи могут иметь произвольные направления. Нужно помнить , что если в процессе расчета ток какой-либо ветви примет отрицательные значения, то это означает несовпадение реального тока с принятым положительным направлением . Положительное значение какой-либо ветви говорит о том, что направление тока в ветви выбрано правильно.
а)
б)
в)
Рис.1. Нелинейная электрическая цепь а), ее эквивалентная схема (ЭС) б), и граф ЭС в).Рис.2 Эквивалентные схемы диода и транзистора.
В описании режимных параметров также указываются следующие параметры:
М1 и М2 – константы, необходимые для автоматического выбора шага интегрирования; ТК - длительность переходных процессов, т.е. конечный отрезок времени интегрирования;
НР – шаг печати выходных напряжений и токов.
Выводимые на печать напряжения на ребрах (емкостях и входных напряжений) и хордах (резисторах) и их количество указываются в массиве SHOWUR и SHOWUH, соответственно.
Результаты анализа схемы могут быть выданы на печать в графическом (параметр GRAPH = 1 или по умолчанию) или табличном виде (GRAPH = 0). Кроме того, по результатам расчета схемы предусмотрено построение передаточной характеристики (параметр PEREDAT = 1).
Для случая расчета схем, типа ЭСЛ, управляемых сигналами отрицательной полярности в файле исходных данных предусмотрен параметр Ic, который принимается равным единице. Если на вход схемы подается импульс положительной полярности (как в случае ТТЛ-схемы), то параметр Ic (по умолчанию) принимает значение, равное 0.
В программе реализованы два метода алгоритма решения уравнений ММС. Выбор метода решения уравнений ММС осуществляется параметром Method, который принимается равным 1 или 2 (по умолчанию). Цифра 2 соответствует ускоренному алгоритму решения уравнений ММС.
И, наконец, в файле данных указывается параметр CheckOnly, который используется для автоматической (CheckOnly =0, по умолчанию) коррекции структуры схемы, т.е. автоматического поиска, обнаружения и устранения неправильно размещенных ветвей. Когда эти процедуры выполняются вручную, параметр CheckOnly = 1