Понятие и классификация систем массового обслуживания (стр. 6 из 7)

Вычислим математическое ожидание:

После интегрирования по частям, получим:

.

Параметр

есть интенсивность потока заявок.

Формулу для розыгрыша

получим из уравнения (30), которое в данном случае запишется так: .

Вычислив интеграл, стоящий слева, получим соотношение

. Отсюда, выражая , получим:

(33)

Т.к. величина

распределена также как и , следовательно, формулу (33) можно записать в виде:

(34)

7 Исследование системы массового обслуживания

7.1 Проверка гипотезы о показательном распределении

Исследуемое мной предприятие представляет собой двухканальную систему массового обслуживания с ограниченной очередью. На вход поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивности обслуживания заявок каждым из каналов μ, а максимальное число мест в очереди m.

Начальные параметры:

Время обслуживания заявок имеет эмпирическое распределение, указанное ниже и имеет среднее значение

.

Мной были проведены контрольные замеры времени обработки заявок, поступающих в данную СМО. Чтобы приступить к исследованию, необходимо установить по этим замерам закон распределения времени обработки заявок.

Таблица 6.1 – Группировка заявок по времени обработки

Количество заявок	22	25	23	16	14	10	8	4
Время обработки, мин	0–5	5–10	10–15	15–20	20–25	25–30	30–35	35–40

Выдвигается гипотеза о показательном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы, при уровне значимости

проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю

. Для этого, каждый i – й интервал заменяем его серединой и составляем последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2) Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

3) Найти вероятности попадания X в частичные интервалы по формуле:

4) Вычислить теоретические частоты:

,

где

- объем выборки

5) Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы

, где S – число интервалов первоначальной выборки.

Таблица 6.2 – Группировка заявок по времени обработки с усредненным временным интервалом

Количество заявок	22	25	23	16	14	10	8	4
Время обработки, мин	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5	37,5

Найдем выборочную среднюю:

2) Примем в качестве оценки параметра λ экспоненциального распределения величину, равную

. Тогда:

( )

3) Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:

Для первого интервала:

Для второго интервала:

Для третьего интервала:

Для четвертого интервала:

Для пятого интервала:

Для шестого интервала:

Для седьмого интервала:

Для восьмого интервала:

4) Вычислим теоретические частоты:

Результаты вычислений заносим в таблицу. Сравниваем эмпирические

и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона.

Для этого вычислим разности

, их квадраты, затем отношения . Суммируя значения последнего столбца, находим наблюдаемое значение критерия Пирсона. По таблице критических точек распределения при уровне значимости и числу степеней свободы находим критическую точку

Таблица 6.3 – Результаты вычислений

i
1	22	0,285	34,77	-12,77	163,073	4,690
2	25	0,204	24,888	0,112	0,013	0,001
3	23	0,146	17,812	5,188	26,915	1,511
4	16	0,104	12,688	3,312	10,969	0,865
5	14	0,075	9,15	4,85	23,523	2,571
6	10	0,053	6,466	3,534	12,489	1,932
7	8	0,038	4,636	3,364	11,316	2,441
8	4	0,027	3,294	0,706	0,498	0,151
122

Т.к.

, то нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.

7.2 Расчет основных показателей системы массового обслуживания

Данная система представляет собой частный случай системы гибели и размножения.

Граф данной системы:

Рисунок 10 – Граф состояний исследуемой СМО

Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, то существует предельное распределение вероятностей состояний. В стационарных условиях поток, входящий в данное состояние должен быть равен потоку, выходящему из данного состояния.

(1)

Для состояния S₀:

Следовательно: