В изучении любого учебного предмета, и особенно математики, важен этап систематизации материала, когда выясняется место данного понятия в системе других понятий. Это достигается следующими путями:
установление связей между отдельными понятиями, теоремами;
разноплановой систематизацией материала по различным основаниям;
обобщением понятия; конкретизацией понятия.
Некоторые особенности усвоения математических понятий и их определений учащимся
В большинстве случаев в школьном преподавании применяется конкретно-индуктивный способ введения нового понятия, когда начинают с рассматривания конкретных примеров и путем мыслительных операций (анализа, сравнения, абстрагирования, обобщения, синтеза) приводят учащихся к образованию новых понятий. При умелом, продуманном проведении этого процесса учащееся почти всегда способны сами сформулировать определение нового понятия.
Конкретно-индуктивным методом вводятся понятия в пропедевтических циклах начал алгебры и геометрии в 1-6 классах, причем многие определяемые понятия там были введены без определений, описательно.
Приступая к изучению систематических курсов в 7 классе, пользуются всеми этими понятиями как известными. Так уже на первых уроках геометрии в 7 классе употребляются понятия “точка”, «прямая”, “ плоскость”, “ расстояние” и выясняется, что они будут первичными геометрическими понятиями, принимаемыми без определения, остальным понятиям даются определения.
Здесь же выясняется абстрактный характер геометрических понятий (точка не имеет размеров, прямая не ограничена, бесконечна и т. п.), мотивируется необходимость подобного абстрагирования, показывается логическое строение геометрии, роль аксиом и теорем.
Чтобы оценить правильность явных определений, надо знать правила определения понятий. Так как большинство определений в средней школе – определения через род и видовое отличие, то рассмотрим правила этих определений.
Требования к определению понятий:
1). Определяемое и определяющее понятия должны быть соизмеримы (т.е. совокупности, охватываемых ими предметов, должны совпадать). Нарушение этого требования приводит к ошибкам:
а) ошибка «слишком широкого определения», при которой объем определяющего понятия становится шире объема определяемого. Например, параллелограмм – это многоугольник, противоположные стороны которого параллельны. Контрпример – шестиугольник, противоположные стороны которого параллельны. Например, ромб—четырехугольник с взаимно перпендикулярными диагоналями (контпример - ромбоид).
б) ошибка «слишком узкого определения», при этом в качестве видового понятия берется отличительный признак не вида, а подвида. Объем определяющего понятия оказывается уже объема определяемого. Например, параллелограмм – это четырехугольник с равными сторонами. Исправление ошибки – пример параллелограмма, который не подпадает под это определение. Например, ромб—четырехугольник с прямыми углами и взаимно перпендикулярными диагоналями. Нарисовать ромб, но не квадрат.
Так как профилактика всегда лучше лечения, то соответствующую работу следует проводить непосредственно в процессе изучения данного понятия.
2). Запрещается порочный круг. Нарушение этого требования приводит к ошибкам:
а) определение понятия через само себя (тавтология), то есть определяемое содержится (явно или неявно) в определяющем. Например, «решение уравнения – это то число, которое является его решением». «Подобными называются фигуры, которые между собой подобны». «Геометрия – это наука о геометрических фигурах». Учителю следует разъяснять смысл и назначение определения;
б) круг в определении, то есть при определении используется другое понятие, которое в свою очередь определяется с помощью первого. Например, «Угол называется прямым, если его стороны взаимно перпендикулярны" и "Две прямые взаимно перпендикулярны, если они образуют прямой угол". «Умножением чисел называется действие, при помощи которого находят произведение этих чисел» и «Произведением чисел называется результат умножения этих чисел». В подобных случаях надо сопоставить оба определения, разъяснить суть ошибок.
3). Отсутствие в определении избыточности. Это означает, что в определении не должно быть указано лишних свойств, вытекающих из других свойств, также включенных в определение понятий. Например, «Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны». Требование равенства противоположных сторон четырехугольника – избыточно. Это свойство параллелограмма, которое доказывается учащимися.
4). Необходимо, чтобы определяемый объект существовал. Например, «Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого все углы – тупые».
Важно обучать школьников отысканию лишних слов в определении.
Имеет смысл давать задания: отыскать лишние слова, например, в определении «Диаметром окружности называется отрезок, проходящий через ее центр, соединяющий две ее точки и делящий окружность пополам».
Полезны упражнения по сокращению определения путем использования термина (см. предыдущее определение).
Полезно давать задания на сравнение двух одинаково правильных и одинаково кратких определений с точки зрения того, какое из них легче проверить (подвести конкретный случай под определение).
Например, 1) диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр;
2) диаметром окружности называется ее наибольшая хорда.
Одна из существенных рекомендаций психологов при усвоении понятий состоит в необходимости варьирования несущественных признаков понятия (принцип варьирования) как при конкретно-индуктивном, так и при абстрактно-дедуктивном методе.
Отсутствие необходимых вариаций часто приводит к формированию неправильных представлений о понятиях.
Например, при построении прямой, перпендикулярной данной прямой а и проходящей через данную точку А с помощью линейки и треугольника (математика 6 кл.) все прямые а выбирались горизонтально. Если потом предложить учащимся построить прямую b, перпендикулярную к прямой а, которая расположена не горизонтально, то почти у всех школьников прямая b все равно оказывается вертикальной.
Серьезным недостатком преподавания является неправильная методика исправления ошибок в определениях, даваемых учащимися. Если ученик неправильно дает определение понятия, то нельзя вызывать второго, третьего и т.д. ученика, пока кто-то не даст правильное определение, не выясняя, в чем ошибка (ее причина, сущность) и, следовательно, не предупреждая повторения ее другими учениками.
Важно требовать полных ответов учащихся. Они часто теряют определяющее слово. Например,
- Какие многоугольники называются подобными?
- Это, если углы одного равны углам другого.
Можно сделать выводы.
1. При введении математических понятий учащиеся должны понимать, что существуют различные их определения. В учебнике выбирается одно из них из методических соображений.
2. Не обязательно сразу давать учащимся определение в законченной форме. Полезна деятельность школьников по отысканию правильной формулировки, ее уточнению, отбрасыванию лишних слов.
3. При повторении определения на последующих уроках следует на примерах показывать ошибочность определений учащихся, либо подтверждать приемлемость определений.
4. Необходимо вести систематическую работу по выработке навыков подведения под определение.
Что значит, что понятие и его определение усвоено учащимся, какие уровни усвоения понятий возможны?
Уровни усвоения учащимися понятий можно представить в виде следующей последовательности. Учащийся:
- узнает понятия;
- знает формулировку определения;
- понимает значение каждого слова, каждой составной части определения, отделяет существенные свойства от несущественных;
- может привести собственные примеры объектов, подходящих под определение;
- может доказать, почему некоторый объект подходит под определение, а другой - нет;
- может использовать понятия в явных ситуациях при решении задач;
- может использовать понятия в неявных ситуациях, при решении нестандартных задач.
Перечисленные уровни - конкретные дидактические цели изучения понятий.
Какие цели развития учащихся может ставить учитель при изучении определений? Это - учить правильно формулировать определения, отделять существенные свойства от несущественных, понимать зависимость между существенными свойствами в определении, осознавать приемы, которые используются при решении задач: подводить под определения, классифицировать, устанавливать связи между понятиями. Эти умения относятся к общим интеллектуальным умениям, так как используются в различных науках и школьных предметах. Эти умения являются умениями развитого понятийного логического мышления.
Занятия № 6, №7. Тема «Методика обучения учащихся теоремам и их доказательствам».
Литература
1. Ананчанка, К.А. Агульная методыка выкладання математыкi ý школе /К.А.Ананчанка. – Мн.: Универсiтэцкае, 1997.
2. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики /Я.И Груденов. – М.: Просвещение, 1990.
3. Метельский, Н. В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы: Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. / Н. В. Метельский. — Минск, 1982.
4. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104 «Математика» и 21056 «Физика» /А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М., 1985.
Задания для самостоятельной работы
1. Поясните, что такое суждение, умозаключение. Приведите примеры. Укажите, что такое теорема, аксиома.
2. Поясните, что означают требования непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом.