Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб посо­бие для студентов пед ин-тов по спец. 2104 «Математика» и21056 «Физика» /А. (стр. 13 из 21)

3. Составьте теорему обратную, противоположную, обратную противоположной к теореме, выражающей свойство равнобедренного треугольника. Придумайте примеры теорем, обратные предложения к которым не верны.

4. Приведите примеры доказательства теоремы синтетическим методом. Докажите эту же теорему с использованием аналитического метода.

5. Проведите доказательство теоремы о свойстве хорд окружности, проходящих через одну точку, методом восходящего анализа.

6. Придумайте пропедевтические задания и задания для осуществления мотивации при изучении теорем: признаков равенства треугольников; теоремы о сумме углов треугольника; теоремы Пифагора; теоремы косинусов; признака перпендикулярности прямой и плоскости

7. Придумайте задания, выполнение которых организует деятельность учащихся на получение формулировок теорем.

8. Приведите примеры оформления полученного доказательства выбранной вами теоремы.

Методические рекомендации

Методические задачи, решаемые при изучении теорем. Воспитание у учащихся потребности в доказательствах

Доказывать, обосновывать свою точку зрения необходимо уметь каждому культурному человеку не только в математике, но и в жизни вообще. При обучении учащихся доказывать ту или другую теорему учителем ставятся цели развития учащихся (общие учебные задачи) - развитие творческого мышления (обучение поиску доказательства) и развитие логического мышления.

При доказательстве теорем решаются следующие методические задачи:

- знакомство с содержание теоремы и ее доказательством вооружает учащихся материалом, который используется при изложении дальнейшего теоретического материала и решении разнообразных задач;

- доказательство развивает навыки логических рассуждений (неосознанного использования законов логики и правил вывода, умения различать прямую и обратную теорему, свойства и признаки понятий, необходимые и достаточные условия, формулировать предложения в различных формах и т.д.);

- доказательство приучает учащихся обосновывать свои суждения, использовать аналитико-синтетический метод в рассуждениях, рационально записывать ход рассуждений;

- доказательство теорем дает возможность осознать дедуктивный характер математики;

- в ходе доказательств теорем у учащихся развиваются умения проводить доказательство вообще, выделять тезис-требование и условия, в которых оно доказывается, расчленять рассуждения на отдельные логические шаги и обосновывать каждый шаг, получать следствия, анализировать формулировку теоремы, умения, связанные с поиском доказательства, с исследованием математических ситуаций и др.

Таким образом, умение проводить доказательства теорем способствует сознательному и глубокому изучению учащимися математики на продолжении всего периода обучения.

Было время, когда учителя и методисты спорили о том, способны ли учащиеся 12-13 лет воспринимать логические доказательства, понимать их необходимость. Практика отечественной школы дала на этот вопрос положительный ответ. Пониманию необходимости доказательств способствуют проведение самих доказательств, приучение к требованию проведения строгого доказательства, неоднократное возвращение к вопросу о принципах построения дедуктивного курса.

Приобщением учащихся к доказательствам необходимо заниматься до начала изучения систематических математических курсов, в курсе математики 5-6 классов. Отдельные методисты предлагают ввести в 5-6 классах специальные дополнительные упражнения нематематического содержания на доказательство.

ПРИМЕР. В одном из месяцев года первое и последнее число месяца пришлось на одинаковый день недели. Сколько дней было в году?

Однако само содержание курса математики предоставляет большие возможности для постановки задач на доказательство. Приведем примеры.

1. Доказать, что 10 • 3 = 30.

2. Объяснить, почему 35-20 = 15.

3. Доказать, что

от числа 120 находится действием умножения 120 на дробь.

4. Доказать, что число,

которого равно 120, находится делением 120 на дробь .

5. Указать, в какой зависимости находятся величины скорости и времени при постоянном пути. Обоснуйте ответ.

6. Указать, в какой зависимости находятся величины времени и пути при неизменной скорости.

7. Доказать, что при сложении дробей с различными знаменателями нельзя складывать отдельно числители и отдельно знаменатели и т. д.

При понимании необходимости решения проблемы развития логического мышления, при внимательном рассмотрении материала учитель сам найдет немало возможностей создания небольших упражнений на доказательство. Докажи, что неизвестное уменьшаемое находится сложением вычитаемого и разности, что данная задача решается нахождением дроби от числа, что данная задача решается с помощью составления пропорции - вопросы, доступные пониманию значительной части учащихся. Первые доказательства должны касаться неочевидных вещей. Роль учителя - пробудить сомнения в доказательстве со ссылкой на очевидность. Необходимо подчеркнуть требование точности и общности доказательств: если тридцать учеников класса при построении равнобедренного треугольника получили равные углы при основании треугольника, то это еще не говорит о том, что в тридцать первом случае при основании равнобедренного треугольника получатся равные углы, а все равнобедренные треугольники по отдельности рассмотреть невозможно.

Чтобы убедить учащихся, что на основании экспериментов, даже многочисленных, нельзя делать общих выводов, достаточно рассмотреть, например, следующую ситуацию.

Утверждается, что формула

является формулой простого числа. На самом деле, при изменении n от 1 до 15 выражение является простым числом, однако при n = 16 - это число составное.

Воспитание у учащихся потребности в доказательстве предусматривает формирование убеждений в ограниченности опытно-индуктивных обоснований. Учащиеся должны усвоить, что при доказательстве теорем нельзя пользоваться тем, что видно из рисунка, или получено в результате измерений углов, отрезков на чертеже. Эти результаты могут служить только выдвижению предположений, гипотез, которые должны обосновываться или опровергаться на основании использования аксиом или ранее доказанных теорем.

Методика обучения учащихся теоремам и их доказательствам

Принципы подхода к обучению учащихся теоремам и их доказательствам следуют из двух соображений. Во-первых, теорема – это новый материал, подлежащий изучению, и с этой точки зрения в изучении теоремы можно выделить следующие этапы: подготовка к изучению нового (пропедевтика), мотивация изучения нового материала, введение нового – организация его восприятия, понимания, закрепление, применение. Во-вторых, теорема является задачей на доказательство, выражающей некоторое важное отношение, свойство, и поэтому на методику изучения теорем распространяются рекомендации, относящиеся к различным этапам решения задач, таким как обучение поиску закономерности, идеи доказательства, обучение анализу условия и исследованию полученного решения.

При обучении учащихся теоремам могут иметь место различные методы: объяснительно-иллюстративный, эвристический, исследовательский. Выбор метода обучения диктуется содержанием теоремы, методом ее доказательства, конкретными возможностями учащихся. Выбор метода осуществляется при логико-математическом анализе материала, подлежащего изучению. Как при объяснении нового материала учителем, так и при организации поисковой деятельности учащихся имеют место все перечисленные ранее этапы изучения нового материала, которые далее будут рассмотрены на конкретных примерах.

Пропедевтика заключается в актуализации необходимых знаний. Например, перед доказательством формулы площади параллелограмма целесообразно вспомнить основные свойства площадей простых фигур, формулу для нахождения площади прямоугольника, признаки равенства треугольников. Пропедевтика также заключается в снятии определенных трудностей – вынесении некоторых моментов доказательства в самостоятельные задачи, которые можно решить до изучения основного материала, до доказательства теоремы. Возможные трудности определяются учителем в результате анализа самого доказательства.

Аргументом в пользу привлечения пропедевтических упражнений является наличие таких ситуации, когда трудные моменты доказательства поглощают все внимание ученика, заставляя забыть, что доказывается. При этом оказывается, что учащиеся попадают в облегченные условия, когда трудности не преодолеваются, а предупреждаются, что является контраргументом в использовании пропедевтических упражнений.

Если теорема Пифагора доказывается методом «штанов», то перед ее изучением можно предложить доказать, что если фигура - квадрат, = ВС₁ = = то ABCD – тоже квадрат (см. рисунок).

Другой пример. Для того чтобы выяснить положение центра вписанной в правильную пирамиду сферы, полезно предварительно доказать, что любая точка высоты правильной пирамиды одинаково удалена от всех боковых граней пирамиды.