Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб посо­бие для студентов пед ин-тов по спец. 2104 «Математика» и21056 «Физика» /А. (стр. 14 из 21)

Для того чтобы повысить интерес к изучаемой теореме, чтобы ее изучение стало лично значимой целью (мотивация изучения нового материала), полезно перед изучением теоремы предъявлять интересные задачи, желательно практического содержания, которые для своего решения требуют изучения нового материала. Отсутствие необходимых знаний побуждает к поиску.

Пример: как построить медиану равнобедренного треугольника, проведенную к его основанию, если вершина треугольника недоступна - задание, предъявляемое перед изучением соответствующего свойства равнобедренного треугольника.

Очень часто приходится встречаться с таким фактом, когда учащиеся заучивают формулировки теорем, не осознавая полностью их смысла. Если ученик сам находит закономерность, сам формулирует теорему, то это позволяет избавиться от формализма в знании формулировок. Для самостоятельного получения формулировок теорем учащиеся могут использовать различные построения, вычисления, измерения, модели.

Приведем примеры.

1. Перед изучением теоремы Фалеса учащихся просят построить произвольный угол, отложить на одной стороне угла равные отрезки, через их концы провести параллельные прямые и измерить получившиеся отрезки на другой стороне угла. Сопоставление результатов, полученных разными учениками, приводит к гипотезе о существовании определенного отношения.

2. Перед изучением свойств арифметического квадратного корня можно предложить провести следующие вычисления:

и , затем сравнить результаты.

Аналогично с помощью выполнения измерений, вычислений, использования наглядных пособий можно привести учащихся к самостоятельному формулированию любой теоремы. После того как закономерность учащимися выявлена, необходимо скорректировать формулировку, привлекая к этому учеников и аргументируя эту корректировку. Можно также предложить учащимся проанализировать формулировку теоремы, содержащую ошибку. Ошибки в формулировках теорем выявляются с помощью приведения контрпримеров. Эту работу можно отнести к этапу закрепления формулировки теоремы.

Например, если учащимися предлагается следующая формулировка теоремы: «Против большего угла лежит и большая сторона», то можно предложить рассмотреть в качестве контрпримера два неравных треугольника, для которых сформулированное предложение неверно.

Для понимания формулировки и доказательства теоремы, для снятия трудностей в ее использовании необходимо выделять в формулировке условие и заключение, данные и требование. Это выполнить труднее, если теорема сформулирована в категоричной, а не условной форме. Поэтому категоричную форму полезно переделывать в условную и наоборот, что не всегда легко осуществляется. Задания для учащихся при этом могут выглядеть следующим образом:

1. Сформулировать в условной форме: а) теорему Пифагора; б) теорему о сумме углов треугольника; 3) теорему Виета; г) теорему о средней линии трапеции.

2. Сформулировать в категоричной форме: а) признаки равенства треугольников; б) признаки параллельности прямых и т. д.

При формулировании теоремы учащиеся часто вместо требуемой теоремы произносят ей обратную. Этой логической ошибки можно избежать, изучая вопрос об обратных теоремах, формируя умения различать свойства и признаки понятий. Поэтому понятие об обратной теореме рассматривается в начале курса геометрии. При этом необходимо научить ученика строить предложение, обратное данной теореме, и определять его истинность. Рассмотрение ситуаций, когда предложение, обратное некоторой теореме, не является верным, способствует разграничению двух понятий: прямой и обратной теоремы и правильному их использованию.

При конструировании формулировок обратных теорем могут возникнуть трудности, например, для теорем: а) в ромбе диагонали перпендикулярны; б) в параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам.

Для выхода из этой ситуации было предложено выделять в формулировке теоремы разъяснительную часть, которая остается инвариантной в формулировках как прямой, так и обратной теорем. Для последнего примера это будет выглядеть следующим образом: если четырехугольник является параллелограммом, то его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Термин четырехугольник составляет разъяснительную часть условия теоремы.

Переходим к вопросу о краткой записи формулировки теоремы. Переход от правильной формулировки к правильной схематической записи условия и заключения является работой, требующей достаточно развитого логического мышления. В начале систематического курса геометрии возникает вопрос, насколько подробно следует записывать условие и заключение теорем. Записи условия и заключения теоремы должны быть настолько подробными, чтобы по записи можно было полностью восстановить текст формулировки теоремы. И в то же время запись условия не должна содержать ничего лишнего.

Доказательство теоремы учащиеся могут получить с большой долей самостоятельности, если это доказательство предъявлено ученикам в виде последовательности задач, доступных для самостоятельного решения. Например, чтобы доказать свойство вписанного в окружность угла, достаточно предъявить учащимся три задачи с конкретными числовыми данными на нахождение числового значения величины вписанного угла по значению величины центрального угла в случаях, когда центр окружности лежит на стороне вписанного угла, внутри и вне угла.

По поводу оформления доказательств можно высказать ряд соображений. Оформление доказательств с выделением утверждений и их обоснований, фактов и аргументов необходимо для понимания доказательства, для понимания построения всего дедуктивного курса геометрии, для воспитания потребности в доказательстве. Краткой записи полученных доказательств учащихся необходимо обучать специально. Следует также обучать записи доказательств, представленных в учебнике. Это специальная, трудная и необходимая работа. В алгебраических доказательствах, при различных алгебраических преобразованиях используется запись аргументов над знаками равенства.

После получения и осуществления идеи доказательства теоремы, после записи доказательства теоремы необходим этап закрепления полученного доказательства. Этот этап является закреплением самого доказательства и предшествует закреплению и применению применению формулировки теоремы. На уроках этот этап иногда неоправданно не находит своего места.

Этап закрепления доказательства в изучении теоремы предполагает работу по выявлению, поняты ли идея, метод доказательства и отдельные его шаги. Вопросы: «Понятно ли доказательство?», «Кто не понял доказательства?» дают мало или вообще не дают информации учителю, насколько доказательство теоремы оказалось усвоенным учащимися. При осуществлении этапа закрепления полученного доказательства можно с помощью вопросов, обращенных к учащимся, снова «пройтись» по всему доказательству, можно попросить объяснить отдельные шаги доказательства, перечислить все аксиомы, теоремы и определения, которые используются в доказательстве, выяснить, где используется какое-либо данное, все ли условия оказались использованными, какое и почему дополнительное построение оказалось полезным при поиске доказательства, в чем заключается основная идея доказательства, что оказалось несущественным для доказательства и что может быть изменено, нет ли других способов доказательства рассматриваемой теоремы, всегда ли полученное доказательство имеет смысл.

Повторение доказательства приобретает большую ценность, если оно варьирует обозначения на неизменном чертеже, а также сам чертеж.

Например, если теорема о сумме углов треугольника изучается по чертежу, представленному на рис. а, то закрепление полезно провести по другому чертежу (рис. б).

Все рассмотренные этапы изучения теоремы имеют место при любом методе изучения, как при частично-поисковом, так и при объяснительно-иллюстративном. Разница – в уровне активности и самостоятельности учащихся при получении доказательства теоремы.

Следующий этап изучения теоремы – закрепление и применение формулировки теоремы. На этапе закрепления теоремы возможна работа над формулировкой теоремы, над ее запоминанием, обучением узнаванию изученной теоремы в различных ситуациях и применением в простейших случаях и в различных комбинациях.

Поэлементной отработке каждого слова формулировки и ее запоминанию способствует компактный метод, когда формулировка теоремы, как и ранее рассмотренные формулировки определений, разбиваются на составные части и произносятся вслух и используются по частям. Такая работа способствует и осознанию, и запоминанию теорем. Рассмотрим, как может проходить закрепление формулировки теоремы компактным методом на примере теоремы о трех перпендикулярах.

Учитель вместе с учащимися разбивает формулировку теоремы на составные части и отмечает наличие каждой части в рассматриваемой ситуации (см. рисунок):

1) прямая, лежащая в плоскости (показывает прямую PD); 2) перпендикулярная проекций наклонной (показывает проекцию и наклонную АВ); 3) проведенная через основание наклонной (показывает точку В – основание наклонной);

4) перпендикулярна и самой наклонной (показывает прямой угол АВD).