Реальный процесс выхода из проблемной ситуации, разрешение проблемы возможно, как правило, в нескольких направлениях, опираясь на различную теоретическую базу. Поэтому и в процессе разрешения проблемной ситуации на уроке должно иметь место несколько способов решения. Возможно, в целях экономии времени не каждой путь будет доведен до логического конца, но возможность различных путей должна быть обозначена, доведена до сознания обучаемых. При подготовке к уроку необходимо предусмотреть различные пути решения каждой подпроблемы.
Разрешение проблемных ситуаций имитирует реальный процесс мышления - открытие нового знания. А реальный процесс мышления, решение проблем - не накатанная дорога. В нем имеют место тупиковые ситуации, когда очередная гипотеза приводит либо к очевидному противоречию, либо к невозможности продолжать решение в данном направлении ввиду отсутствия необходимой базы. Такие ситуации должны иметь место и в процессе обучения. Они возникают естественным образом, когда учащимися предлагается неверный или неподходящий путь решения. Неверные шаги могут быть инициированы учителем. Ложные предположения не отвергаются, а подвергаются анализу. Если учащиеся попали в тупиковую ситуацию, необходим поиск ошибки. Тупиковые ситуации заставляют учащихся вернуться на исходные позиции и продолжить поиск, выдвигая новые гипотезы.
В процессе обучения возможны два пути предъявления материала, две схемы - историческая и логическая. Логическая - более краткая, отражающая результат исследования, историческая - более естественная, отражающая реальный процесс решения проблемы человечеством. Вся история развития научного знания внутренне проблематична. Привлечение исторического материала для поисков решения проблемы при организации проблемного изложения, проблемной беседы обогащает ученика знакомством с реальными путями выхода человеческой мысли из проблемной ситуации и способствует повышению познавательного интереса. Использование исторического материала на уроке позволяет усилить его проблемность.
Частично-поисковый (эвристический) метод
Частично-поисковый (эвристический) метод сочетает изложение учителем учебного материала и творческий поиск учащихся.
В целях постепенного приближения учащихся к самостоятельному решению проблем необходимо их учить выполнению отдельных этапов исследования. Частично-поисковый или эвристический метод заключается в том, что ученики не решают проблемную задачу целиком, учитель планирует шаги поиска, расчленяет проблемную задачу на подзадачи, а учащиеся осуществляют эти шаги под руководством учителя.
С этой целью материал темы существенно переструктурируется учителем таким образом, что предполагается не гладкое последовательное предъявление материала от простого к сложному, с предупреждением возможных трудностей, а преодоление трудностей, как это бывает в реальной жизни. Учащиеся становятся очевидцами возникновения проблем, участниками их постановки и разрешения, соавторами создающихся небольших теорий, исследователями полученных закономерностей. Структура темы, предъявляемой учебниками, становится более понятной ученикам. Само изучение темы, как и положено, при проблемном подходе, проходит в форме решения интересных практических и познавательных задач. А использованный исторический материал приобретает живую окраску.
Основной форма частично-поискового метода является эвристическая беседа, центральное место в которой занимают проблемные вопросы, ответы на которые должны найти ученики. Существенное увеличение времени на подготовку урока оправдано возрастанием интереса учащихся к предмету.
Таким образом, в основе метода проблемного изложения и частично-поискового (эвристического) метода лежат общие принципы, оба они относятся к проблемно-поисковым методам, но отличаются степенью самостоятельности учащихся в разрешении учебных проблем.
Исследовательский метод
Исследовательский метод высший уровень проблемного подхода. Проблемное изложение и проблемная беседа являются подготовкой учащихся к нему. Исследовательский метод в обучении заключается в самостоятельном решении обучаемыми проблем, трудных задач познавательного и практического характера. При исследовательской деятельности учащиеся отыскивают не только способы решения поставленных проблем, но и побуждаются к самостоятельной их постановке, к выдвижению целей своей деятельности.
Исследовательский метод является имитацией творческого поиска исследователя. Учащиеся открывают новое, но это субъективно новое, известное науке, но неизвестное ученику. При этом ученик проходит те же этапы творческого процесса, что и настоящий исследователь: анализирует ситуации, выдвигает гипотезы относительно целей и методов исследования, проверяет их, отказывается от них, если они приводят в тупик, к противоречию, составляет план исследования, формулирует результат, проверяет пригодность результата для различных крайних, частных случаев, пытается перенести полученный результат на новые ситуации - установить следствия полученной закономерности.
В организации исследовательской деятельности учащихся имеют место определенные трудности. Как и всякий другой метод обучения, исследовательский метод не является универсальным методом обучения. В младших и средних классах школы в деятельности учащихся могут включаться лишь отдельные элементы исследований. Это является подготовкой для применения в старших классах исследовательского метода в более развитой и сложной форме.
Какие формы работы, какие задания помогут организовать исследовательскую деятельность? На начальном этапе это может быть самостоятельное составление учеником задач, упражнений, аналогичных решенным, обратных решенным. На более поздних этапах такими формами могут быть: самостоятельное составление задач на заданную тему, на определенный метод решения; решение задач с неполным условием, когда появляется возможность получения последовательности задач; это получение задач из практических ситуаций с последующим их решением; самостоятельный поиск закономерностей и их доказательств; это распространение полученной закономерности на частные и предельные случаи; это исследование, в каких случаях решение возможно, а в каких - нет; это определение количества возможных решений.
Отличительной чертой исследовательского метода является не просто поиск пути достижения определенной цели в определенных условиях, но поиск самой цели, поиск условий, их взаимосвязей, уточнение того и другого. Исследовательская деятельность имеет место при самостоятельном решении любой нестандартной задачи, условие которой не ориентируется на способ решения, а в имеющемся опыте нет готовых схем решения для нее.
Построение процесса обучения подобно исследованию требует чрезмерно большого времени, хотя этот недостаток исследовательского метода окупается эффективностью развития творческого мышления учащихся. Однако в условиях дефицита времени, естественно ограничиться применением исследовательского метода к отдельным темам, наиболее подходящим для этой цели. При изучении других вопросов даже репродуктивными методами умелая организация учителя поможет школьникам рассматривать изученный материал как результат некоторых исследований, проведенных другими.
7. Математические методы познания
Математические методы познания отражают методы самой математики и имеют наибольшее влияние на формирование и развитие математического мышления учащихся (то есть мышления, стиль, структура которого специфичны для математики).
Одним из наиболее плодотворных методов математического познания действительности является метод построения математических моделей изучаемых реальных объектов или объектов, уже описанных в других областях знаний, с целью их глубокого изучения и решения всех возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью математического аппарата.
Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений, выраженное на языке математической теории (с помощью алгебраических функций или их систем, дифференциальных или интегральных уравнений или неравенств, системы геометрических предложений или других математических объектов).
Математическое моделирование — мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления. Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования.
Метод математического моделирования состоит из этапов:
1. Поиск языка и средств для перевода задачи в математическую, то есть построение математической модели;
2. Изучение математической модели, ее исследование. Если полученная конкретная модель принадлежит уже изученному в математике классу моделей , то математическая задача решается уже известными методами. Если же полученная модель не укладывается ни в один из известных классов моделей, то возникает внутриматематическая проблема исследования нового класса моделей, что приводит к дальнейшему развитию одной из существующих математических теорий или к появлению новой.
3. Это развитие математической теории находит затем применение к изучению той области знаний, в которой возникла исходная задача, а также и других объектов реального мира, приводящих к математическим моделям того же класса.
Процесс обучения математике должен в какой-то мере имитировать процесс исследования в самой математике, раскрывать ее связи с реальным миром, с другими областями знаний, в которых она находит все новые приложения.
Обучение, как правило, должно начинаться с рассмотрения реальных ситуаций и возникающих в них задач, с поиска средств для их математического описания, построения соответствующих моделей. Затем объектом изучения должны стать уже сами эти модели, их исследование, приводящее к расширение теоретических знаний учащихся. После того, как соответствующая теория построена (с участием самих учащихся), ее аппарат применяется к решению исходной задачи. А также других задач, связанных с другими областями знаний, но приводящих к моделям этого же класса.