К методу математического моделирования в учебном процессе приходится прибегать при решении любой задачи с практическим содержанием. Чтобы решить такую задачу математическими средствами, ее необходимо вначале перевести на язык математики (построить математическую модель). В процессе математического моделирования широко используются абстракции отождествления, осуществимости, идеализация. Понятия числа, геометрической фигуры, уравнения, неравенства, функции, производной являются примерами математических моделей.
Методом математического моделирования решаются многие задачи межпредметного характера. С помощью метода математического моделирования раскрывается двойная связь математики с реальным миром. С одной стороны, математика служит практике по изучению и освоению объектов окружающего нас реального мира, с другой - сама жизнь, практика способствует дальнейшему развитию математики и направляет это развитие.
Аксиоматический метод также относится к числу наиболее характерных методов математики. Аксиоматический метод можно рассматривать как метод построения теорий, как научный метод познания, как метод обучения математике.
Метод установления истинности предложений, получивший название «аксиоматический метод», заключается в следующем: некоторые предложения принимаются за исходные (их называют аксиомами), истинность же других предложений, не входящих в список аксиом (называемых теоремами), устанавливается с помощью логического доказательства, в котором (обычно неявно) используются правила логического следования (вывода), гарантирующие истинность заключения при истинности посылок. Явное использование этих правил вывода (дедукции) превращает таким образом построенную математическую теорию в дедуктивную (аксиоматическую) систему.
В математике аксиоматический метод – широко применяемый метод построения математических теорий.
Аксиоматический метод, как метод построения математических теорий, может быть использован в качестве метода обучения, если в процессе обучения привлекать самих учащихся к построению «маленьких теорий», постепенно расширяющих изучаемую теорию, в которую они включаются.
Аксиоматический метод как метод обучения служит для систематизации знаний учащихся, выяснения того, «что из чего следует», для установления истинности предложений специфическим для математики способом, для вывода новых знаний из имеющихся.
Занятие № 5. Тема «Методика изучения математических понятий».
Литература
1. Ананчанка, К.А. Агульная методыка выкладання математыкi ý школе /К.А.Ананчанка. – Мн.: Универсiтэцкае, 1997.
2. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики /Я.И Груденов. – М.: Просвещение, 1990.
3. Метельский , Н. В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы: Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. / Н. В. Метельский. — Минск, 1982.
4. Саранцев, Г.И. Формирование математических понятий в средней школе /Г.И.Саранцев //Математика в школе. – 1998. -№6.
Задания для самостоятельной работы
1. Охарактеризуйте главные логические характеристики понятия, содержания понятия, объема понятия. Приведите пример понятия и выделите его содержание и объем. Проиллюстрируйте на примерах зависимость между содержанием и объемом понятия.
2. Укажите, что называется определением понятия. Как решается вопрос о существовании понятий? Приведите примеры определений: через род и видовое отличие, генетического, индуктивного, аксиоматического. Приведите примеры определений, видовые отличия которых связаны конъюнктивно, дизъюнктивно.
3. Охарактеризуйте виды классификации понятий и требования, предъявляемые к правильной классификации. Приведите примеры дихотомической классификации и классификации по видоизмененном признаку.
4. Укажите, из каких этапов состоит организация усвоения понятия и его определения. Сравните два метода введения определений понятий: конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный.
5. Приведите примеры различных логических ошибок в определениях. Продумайте методику исправления ошибок с учащимися.
6. Охарактеризуйте уровни усвоения учащимися понятий. Приведите примеры.
Методические рекомендации
Всякое явление, любой процесс представляет собой единство содержания и формы. Структуру отдельных мыслей и их особых сочетаний называют формами мышления. Основными формами мышления являются понятия, суждения, умозаключения. Понятия — одна из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе и предметов математического цикла. Термин "понятие" обычно применяется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания. Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций.
Формирование математических понятий
Формирование понятий - сложный психологический процесс, начинающийся с образования простейших форм познания - ощущений - и протекающий часто по следующей схеме: ощущения - восприятие - представление - понятие.
Обычно разделяют этот процесс на две ступени: чувственную, состоящую в образовании ощущений, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.
Чувственная ступень в процессе формирования понятий соответствует первому этапу пути познания вообще, то есть "живому созерцанию", и поэтому ее осуществление требует широкого применения наглядности. Если ученику никогда не показывали модель куба или предметы, имеющие форму куба, то у него не может образоваться представления, а следовательно, и понятия куба.
Процесс формирования понятий будет эффективным, если он ориентирует учащихся на обобщение и абстрагирование существенных признаков (характеристического свойства) формируемого понятия.
Рассмотрим процесс формирования понятий на примере понятия куба.
Детям (6-7лет) показывают много предметов, отличающихся формой, размерами, окраской, материалом, из которого они сделаны, причем таких, что одни из них имеют форму куба, а другие нет. Дети, после того как им показывают на одно из этих тел и говорят, что это куб, безошибочно отбирают все те тела, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, касающимися размера, окраски, материала. Здесь выделение из класса предметов подкласса, отождествление тел производится по одному еще недостаточно проанализированному признаку - внешней форме. Дети еще не знают свойств куба, они распознают его только по форме.
Дальнейшая работа по формированию понятия куба состоит в анализе этой формы с целью выяснения ее свойств. Учащимся предлагают путем наблюдения найти, что есть общего у всех отобранных тел, имеющих форму куба, чем они отличаются от остальных. Устанавливается, что у каждого куба 8 вершин, 6 граней. Но у некоторых тел, которые мы не отнесли к кубам, тоже 8 вершин и 6 граней. Оказывается, у куба все грани - квадраты (эта работа обычно проводится после аналогичной работы по выделению класса квадратов из множества плоских фигур).
Остается один шаг к образованию понятия куба - переход от представления к понятию путем абстрагирования, то есть отделения общих свойств от прочих, несущественных. Разумеется, на начальном этапе обучения нельзя еще говорить о полном абстрагировании этих свойств, у детей еще не образовывается понятие куба в чистом виде, они еще не определяют куб и противопоставляют его прямоугольному параллелепипеду с различными измерениями. В дальнейшем же, когда будет сконструирована логически упорядоченная система геометрических понятий (в рамках систематического курса геометрии), учащиеся узнают, что куб - это вид прямоугольного параллелепипеда. В этом - диалектика развития понятий.
Приведенный пример показывает, что процесс формирования понятий, как правило, длительный процесс, способствующий развитию обобщающей и абстрагирующей деятельности учащихся.
Однако формирование математических понятий не всегда протекает по приведенной выше схеме, начинающейся с ощущений. В частности, когда формируемое понятие связано, в той или иной форме, с категорией бесконечности (как, например, понятия прямой, плоскости, плотности множества рациональных чисел, предела и др.), то чувственная ступень играет меньшую роль, так как мы не в состоянии воспринимать бесконечное (ни в какой форме), и наглядность из средства, способствующего формированию понятия, иногда становится тормозящим фактором.
Например, бесконечность множества рациональных чисел, лежащих между любыми двумя рациональными числами, не подкрепляется, а, наоборот, "опровергается" конкретным восприятием конечного отрезка, содержащего это множество. Свойство плотности множества рациональных чисел нельзя обнаружить опытным путем, оно не подтверждается наглядными геометрическими представлениями, а устанавливается логически. Этот и другие многочисленные примеры подтверждают выводы психологов о том, что восприятие наглядного материала в силу объективных особенностей этого материала может играть не только положительную, но и отрицательную роль.
Пропедевтика понятий
Пропедевтика (гр. propaideuo- обучаю предварительно) – введение в какую-либо науку. Следовательно, речь идет о предварительной подготовке учащихся к формированию математических понятий.