Энергетический спектр и оптические свойства водородоподобных примесных центров в квантовых точках (стр. 4 из 7)

. (2.1.7)

По правилу коммутаций оператора обобщенного импульса имеем

, (2.1.8)

коммутативны если

С учётом (2.1.8) уравнение Шредингера (2.1.7) примет вид

. (2.1.9)

Распишем векторный потенциал

и оператор обобщённого импульса . Заметим, что магнитное поле направлено вдоль оси Оz, тогда

. (2.1.10)

Учитывая (2.1.10), получим

(2.1.11)

Решение уравнения (2.1.11) будем искать в виде

, (2.1.12)

, (2.1.13)

. (2.1.14)

Выбор именно такого вида функции

обусловлен тем, что должна быть собственной функцией оператора

, (2.1.15)

, (2.1.16)

. (2.1.17)

Сделаем ряд следующих обозначений

- эффективный боровский радиус, (2.1.18)

– магнитная длина, (2.1.19)

- циклотронная частота. (2.1.20)

С учётом (2.1.12) – (2.1.20) уравнение (2.1.11) запишется в виде

(2.1.21)

Разделим в уравнении (2.1.21) переменные:

(2.1.22)

где

- разделительный множитель.

Из (2.1.22) получим два уравнения

, (2.1.23)

. (2.1.24)

Решение уравнений (2.1.23) и (2.1.24) приводит к результату

, (2.1.25)

. (2.1.26)

Таким образом, с учетом (2.1.13), (2.1.25) и (2.1.26) получим для волновой функции следующее выражение

, (2.1.27)

где

- нормировочный множитель равный

. (2.1.28)

Собственные значения гамильтониана определятся как

. (2.1.29)

Энергетический спектр и волновые функции электрона локализованного на водородоподобном примесном центре (основное состояние(n1=0,m=0,n2=0)), принимая во внимание (2.1.27), (2.1.28) и (2.1.29) примут вид

, (2.1.30)

. (2.1.31)

На рисунке 1 представлен компьютерный анализ зависимости (2.1.31) энергетического спектра электрона находящегося в основном состоянии в квантовой точке на основе InSb от величины магнитной индукции.

Рисунок 1 – Зависимость энергии связи от величины магнитной индукции для соединения InSb

Как видно из рисунка величина энергии электрона локализованного на водородоподобном примесном центре линейно зависит от магнитной индукции.

Волновые функции и энергетический спектр конечного состояния системы квантовая точка – водородоподобный примесный центр после взаимодействия со световой волной можно представить в виде

, (2.1.32)

где

- нормировочный множитель равный

, (2.1.33)

, (2.1.34)

2.2 Аналитические выражения для матричных элементов и соответствующие правила отбора для квантовых чисел

Рассмотрим примесное поглощение света комплексом квантовая точка – водородоподобный примесный центр в случае, когда

( – единичный вектор поляризации света). Предполагается, что все характерные длины задачи велики по сравнению с постоянной решетки, а уровень основного состояния примесного центра достаточно асимметрично расположен относительно середины запрещенной зоны. Исходя из этого, рассмотрение примесного поглощения света в квантовой точке можно проводить в рамках метода эффективной массы в однозонном приближении.

Эффективный гамильтониан взаимодействия с полем световой волны в случае продольной по отношению к направлению магнитного поля поляризации запишется как

, (2.2.1)

где

- коэффициент локального поля;

- постоянная тонкой структуры;

I0 – интенсивность света;

ω – частота света;

q – величина волнового вектора.

В дипольном приближении матричные элементы электрон-фотонного взаимодействия, определяющие переходы электрона из основного состояния примесного центра в конечное состояние в результате поглощения фотона с продольной поляризацией, записывается следующим образом

] . (2.2.2)

Расчет матричных элементов (2.2.2) приводит к вычислению интегралов определяющих правила отбора для квантовых чисел.

Для магнитного квантового числа

, (2.2.3)

Для радиального квантового числа

. (2.2.4)

Теперь рассмотрим примесное поглощение света комплексом квантовая точка – водородоподобный примесный центр в случае, когда

. В аналогичных предположениях, что и для предыдущего случая.

Эффективный гамильтониан взаимодействия с полем световой волны в случае поперечной по отношению к направлению магнитного поля поляризации запишется как

, (2.2.5)

где

- полярный угол единичного вектора поперечной поляризации в цилиндрической системе координат.

В дипольном приближении матричные элементы электрон-фотонного взаимодействия, определяющие переходы электрона из основного состояния примесного центра в конечное состояние в результате поглощения фотона с поперечной поляризацией, записывается следующим образом

.(2.2.6)

Расчет матричных элементов (2.2.6) приводит к вычислению интегралов определяющих правила отбора для квантовых чисел.

Для магнитного квантового числа

, (2.2.3)