Курс физики (стр. 118 из 157)
Гармонический осциллятор в квантовой механике — квантовый осциллятор — описывается уравнением Шредингера (217.5), учитывающим выражение (222.1) для потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера вида
(222.2)где Е — полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (222.2) решается только при собственных значениях энергии
(222.3)Формула (222.3) показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь декретом значения, т. е. квантуется. Энергия ограничена снизу отличным от нуля, как и для прямоугольной «ямы» с бесконечно высокими «стенками» (см. § 220), минимальным значением энергии E0 = 1/2ℏω0. Существование минимальной энергии — она называется энергией нулевых колебаний — является типичной для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей.
Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находиться на дне «потенциальной ямы», причем этот вывод не зависит от ее формы. В самом деле, «падение на дно ямы» связано с обращением в нуль импульса частицы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда неопределенность координаты становится сколь угодно большой, что противоречит, в свою очередь, пребыванию частицы в «потенциальной яме».
Вывод о наличии энергии нулевых колебаний квантового осциллятора противоречит выводам классической теории, согласно которой наименьшая энергия, которую может иметь осциллятор, равна нулю (соответствует покоящейся в положении равновесия частице). Например, классическая физика приводит к выводу, что при Т=0 энергия колебательного движения атомов кристалла должна обращаться в нуль. Следовательно, должно исчезать и рассеяние света, обусловленное колебаниями атомов. Однако эксперимент показывает, что интенсивность рассеяния света при понижении температуры не равна нулю, а стремится к некоторому предельному значению, указывающему на то, что при T→0 колебания атомов в кристалле не прекращаются. Это является подтверждением наличия нулевых колебаний.
Из формулы (222.3) также следует, что уровни энергии линейного гармонического осциллятора расположены на одинаковых расстояниях друг от друга (рис. 300), а именно расстояние между соседними энергетическими уровнями равно ℏω0, причем минимальное значение энергии E0 = 1/2ℏω0.
Строгое решение задачи о квантовом осцилляторе приводит еще к одному значительному отличию от классического рассмотрения. Квантовомеханический расчет показывает, что частицу можно обнаружить за пределами дозволенной области |х| < хmax (см. рис. 16), в то время как с классической точки зрения она не может выйти за пределы области (- хmax, + хmax). Таким образом, имеется отличная от нуля вероятность обнаружить частицу в той области, которая является классически запрещенной. Этот результат (без его вывода) демонстрируется на рис. 301, где приводится квантовая плотность вероятности w обнаружения осциллятора для состояния n = 1.
Рис. 301
Из рисунка следует, что для квантового осциллятора действительно плотность вероятности w имеет конечные значения за пределами классически дозволенной области |x| ≥ хmax т. е. имеется конечная (но небольшая) вероятность обнаружить частицу в области за пределами «потенциальной ямы». Существование отличных от нуля значений w за пределами «потенциальной ямы» объясняется возможностью прохождения микрочастиц сквозь потенциальный барьер
(см. § 221).
ЗАДАЧИ
28.1. Свободная частица движется со скоростью u. Доказать, что выполняется соотношение vфазu = c2.
28.2. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 1% от ее числового значения, определить неопределенность координаты электрона. Применительно ли в данном случае для электрона понятие траектории? [∆х=33 нм; нет]
28.3. Ψ-Функция некоторой частицы имеет вид ψ=
Ae−r a/ , где г — расrстояние этой частицы от силового центра, а — постоянная. Определить среднее расстояние 〈r〉 частицы от силового центра. [〈r〉=π/2]
28.4. Записать уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона, находящегося в атоме водорода.
28.5. Электрон находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной lс бесконечно высокими «стенками». Определить вероятность W обнаружения электрона в средней трети «ямы», если электрон находится в возбужденном состоянии (n=2). Пояснить физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности обнаружения электрона в данном состоянии. [W=0,195]
28.6. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину 0,1 нм. Определить в электрон-вольтах разность энергий U - E, при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,99. [0,1 мэВ]
ГЛАВА 29 ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
§ 223. АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не"1", двукратно ионизованного лития Li++ и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z= 1),
где r — расстояние между электроном и ядром. Графически функция U(r) изображена жирной кривой на рис. 302. U(r) с уменьшением г (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.
Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией Ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (217.5), учитывающему значение (223.1):
(223.2)где m — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, то для решения уравнения (223.2) обычно используют сферическую систему координат: r, θ, ϕ. Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые из него следуют, пояснив их физический смысл.
1. Энергия. В теории дифференциальных уравнении доказывается, что уравнения типа (223.2) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции Ψ, только при собственных значениях энергии
(223.3)т. е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.
Таким образом, как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» (см. § 220) и гармонического осциллятора (см. § 222), решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е1, Е2, Е3,... показаны на рис. 302 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень El, отвечающий минимальной возможной энергии, — основной, все остальные (En > E1, n = 2, 3, ...) — возбужденные (см. § 212). При Е < 0 движение электрона является связанным — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при n = ∞ E∞ = 0. При Е > 0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е > 0 (заштрихована на рис. 302) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна
Рис. 302
Выражение (223.3) совпадает с формулой (212.3), полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.
2. Квантовые числа. В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (223.2) удовлетворяют собственные функции Ψ (r, в, <р), определяемые тремя квантовыми числами: главным л, орбитальным / и магнитным /и/.
Главное квантовое число л, согласно (223.3), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы:
Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой
(223.4)где l — орбитальное квантовое число, которое при заданном л принимает значения
(223.5)т. е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.