Курс физики (стр. 21 из 157)
Из выражения (37.4) следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в раз, т. е. так называемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Лоренца (36.3) следует, что
т. е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.
4. Релятивистский закон сложения скоростей. Рассмотрим движение материальной точки в системе К', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью v. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени / определяется координатами х, у, z, а в системе К' в момент времени t' — координатами х', у', z', то
представляют собой соответственно проекции на оси х, у, z и х', у', z' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем К и К'. Согласно преобразованиям Лоренца (36.3),
Произведя соответствующие преобразования, получаем релятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности:
(37.5)Если материальная точка движется параллельно оси х, то скорость и относительно системы К совпадает с их, а скорость u' относительно К' — с и'х. Тогда закон сложения скоростей примет вид
(37.6)Легко убедиться в том, что если скорости v, и' и и малы по сравнению со скоростью с, то формулы (37.5) и (37.6) переходят в закон сложения скоростей в классической механике (см. (34.4)). Таким образом, законы релятивистской механики в предельном случае дня малых скоростей (по сравнению со скоростью распространения света в вакууме) переходят в законы классической физики, которая, следовательно, является частным случаем механики Эйнштейна для малых скоростей.
Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнштейна (см. § 35). Действительно, если u′ = c, то формула (37.6) примет
вид u = c + v = c (аналогично можно показать, что при и = с скорость и' так-
1+ cv c же равна с). Этот результат свидетельствует о том, что релятивистский закон сложения скоростей находится в согласии с постулатами Эйнштейна.Докажем также, что если складываемые скорости сколь угодно близки к скорости с, то их результирующая скорость всегда меньше или равна с. В качестве примера рассмотрим предельный случай u′ = v = c. После подстановки в формулу (37.6) получим u = с. Таким образом, при сложении любых скоростей результат не может превысить скорости света с в вакууме. Скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить. Скорость света в какой-либо среде, равная с/n (n — абсолютный показатель преломления среды), предельной величиной не является (подробнее см. § 189).
• Какой вывод о пространстве и времени можно сделать на основе преобразований Лоренца? • Одновременны ли события в системе К', если системе К они происходят в одной точке е и одновременны? в системе К события разобщены, но одновременны? Обосновать ответ.
• Какие следствия вытекают из специальной теории относительности для размеров тел и длительности событий в разных системах отсчета? Обосновать ответ.
• При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составит 25%?
• В чем состоит «парадокс близнецов» и как в го разрешить?
• В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей? Как показать, что он находится согласии с постулатами Эйнштейна?
§ 38. ИНТЕРВАЛ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ
Преобразования Лоренца и следствия из них приводят к выводу об относительности длин и промежутков времени, значение которых в различных системах отсчета разное. В то же время относительный характер длин и промежутков времени в теории Эйнштейна означает относительность отдельных компонентов какой-то реальной физической величины, не зависящей от системы отсчета, т. е. являющейся инвариантной по отношению к преобразованиям координат. В четырехмерном пространстве Эйнштейна, в котором каждое событие характеризуется четырьмя координатами (х, у, z, t), такой физической величиной является интервал между двумя событиями:
(38.1)
— расстояние между точкамитрехмерного пространства, в которых эти события произошли. Введя обозначение t12 = t2 – t1 получим
Покажем, что интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Обозначив ∆t = t2 – t1, ∆x = x2 – x1, ∆y = y2 – y1 и ∆z = z2 – z1 выражение (38.1) можно записать в виде
Интервал между теми же событиями в системе К' равен
(38.2)Согласно преобразованиям Лоренца (36.3),
Подставив эти значения в (38.2), после элементарных преобразований получим, что (s′12)2 = c2(∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2 , т. е.
Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что интервал, определяя пространственно-временные соотношения между событиями, является инвариантом при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.
Теория относительности, таким образом, сформулировала новое представление о пространстве и времени. Пространственно-временные отношения являются не абсолютными величинами, как утверждала механика Галилея — Ньютона, а относительными. Следовательно, представления об абсолютном пространстве и времени являются несостоятельными. Кроме того, инвариантность интервала между двумя событиями свидетельствует о том, что пространство и время органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи — пространство-время. Пространство и время не существуют вне материи и независимо от нее.
Дальнейшее развитие теории относительности (общая теория относительности, или теория тяготения) показало, что свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. При переходе к космическим масштабам геометрия пространства-времени не является евклидовой (т. е. не зависящей от размеров области пространствавремени), а изменяется от одной области к другой в зависимости от концентрации масс в этих областях и их движения.
§ 39. ОСНОВНОЙ ЗАКОН РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Масса движущихся релятивистских частиц зависит от их скорости:
(39.1)где т0— масса покоя частицы, т. е. масса, измеренная в той инерциаль-
ной системе отсчета, относительно которой частица находится в покое; с — скорость света в вакууме; т — масса частицы в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v. Следовательно, масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета.
Из принципа относительности Эйнштейна (см. § 35), утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона
оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса. Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид
или
где
- релятивистский импульс материальной точки.
Отметим, что уравнение (39.3) внешне совпадает с основным уравнением ньютоновской механики (6.7). Однако физический смысл его другой: справа стоит производная по времени от релятивистского импульса, определяемого формулой (39.4). Таким образом, уравнение (39.2) инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой.