Выращивание профильных монокристаллов кремния методом Степанова (стр. 2 из 9)

На рис. 3 приведены параметры столба расплава, для которого написано уравнение (8). Начало координат располагается на уровне основания столба расплава. С. В. Цивинский, П. И. Антонов, А. В. Степанов вывели аналитическое уравнение столба расплава при выращивании кристаллов любой заданной формы. Замена cos a производными и интегрирование уравнения (8) от y₀ до y дает выражения:

; (9)

. (10)

(Рис.3)

Схема формирования мениска расплава при вытягивании кристалла с поперечным сечением произвольной формы. Параметры столба расплава:

высота столба расплава y_0:

угол наклона касательной к профильной крывой к оси х (угол a₀₁, при y=0 и угол a₀ при y = y₀); радиус кривизны поверхности столба расплава, лежащего в плоскости, перпендикулярной касательной (

при

при

);

1 — кристалл; 5 — формообразователь; 3—столб расплава;

4—профильная кривая столба расплава: S—поперечное сечение вытягиваемого кристалла;

6—контур поперечного сечения кристалла; 7—контур отверстия в формообразователе.

Уравнение (10) представляет собой уравнение профильной кривой вогнутого и выпуклого столбов расплава в общем виде. Интеграл в уравнении (10) не выражается в элементарных функциях и может быть вычислен только численно. Знак “—” перед интегралом соответствует левой (по отношению к оси) ветви, а “+”—правой ветви меридиональной кривой. Обе ветви равноправны.

Ограничиваясь для простоты описанием только левой ветви и принимая, например, для выпуклого столба допущение cos a<<1, получаем:

(11)

Для построения профильной кривой по уравнению (11) необходимо знать углы наклона профильной кривой мениска расплава к горизонтали у поверхности кристалла a₀ и у кромки формообразователя a₀₁. Угол a₀ рассчитать трудно: он зависит от положения фронта кристаллизации по оси н, от формы фронта кристаллизации и др. Наблюдения формы мениска расплава при выращивании кристаллов германия способом Чохральского, сделанные П. И. Антоновым и М. Шашковым , дали значения a₀=70—80°. В случае, близком к отрыву кристалла от расплава, a₀ @ p / 2. Как следует из рис. 3, угол a₀₁ может быть вычислен по соотношениям:

для вогнутого столба расплава

для выпуклого столба расплава (12)

При выращивании кристалла с поперечным сечением произвольной формы профильные кривые для разных участков столбов расплава будут различными. Для построения профильной кривой на данном участке можно воспользоваться тем, что форма отверстия в формообразователе близка к форме поперечного сечения кристалла. Для простоты можно считать их одинаковыми.

Проведем на контуре поперечного сечения и контуре формирующего отверстия линию, являющуюся линией пересечения плоскости данного продольного сечения с горизонтальной плоскостью (линия ОАВ на рис. 3). В точках А и В графически определяются радиусы кривизны контура поперечного сечения и контура отверстия формообразователя, а также центр кривизны, расположенный в ОА = х₀, ОВ = х₀₁, и все дальнейшие расчеты можно произвести также для кристаллов в форме тел вращения.

Характерной особенностью способа Степанова является отсутствие непосредственного контакта между растущим кристаллом и стенками формообразователя. Фронт кристаллизации находится, как правило, выше уровня щели формообразователя и, кроме того, поперечник кристалла меньше ширины щели. Величину расстояний на рис. 3 между кристаллом и краями щели формообразователя можно вычислить, используя уравнения (10) (11). Полученное выражение будет иметь вид:

(13)

Высота столба расплава y₀, образующегося при вытягивании кристаллов по способу Степанова, является функцией радиуса кристалла r, радиуса отверстия формообразователя x₀, давления P и углов a₀₁ и a₀, образуемых жидкостью в точках контакта с формообразователем и растущим кристаллом по отношению к горизонтали:

(14)

Практическое использование уравнений (11), (13) и (14) сопровождается некоторыми затруднениями:

нужно знать значения a₀ и a₀₁ (которые зависят от условии процесса выращивания кристалла);

заранее знать, будет ли столб расплава вогнутым или выпуклым; для выпукло-вогнутых столбов необходимо знать координаты точки перегиба для нахождения отдельно высоты выпуклой и погнутой части столба.

Способы преодоления этих затруднений предложены В. Л. Татарченко и А. В. Степановым. Физический смысл накладываемых, граничных условий, определяющих вид профильной кривой, рассмотрен П. И. Антоновым, В. А. Татарченко, Л. И. Саета, А. В. Степановым.

Для получения способом Степанова круглых стержней рекомендуется использовать полученную В. Л. Татарченко, Л. И. Саета, Л. В. Степановым зависимость величины угла a₀₁ от (x₀ – r) для фиксированного радиуса формообразователя и давления. Если процесс вытягивания ведется при краевом условии “зацепления” (материал формообразователя смачивается расплавом и имеет место зацепление жидкости за его кромку), то, используя графические зависимости, приведенные на рис. 4, можно найти значение a₀₁ по известному значению давления P.

Условие зацепления реализуется при достаточно больших давлениях. Еcли давление невелико, имеем условие “смачивания” (поверхность жидкости не доходит до верхнего края формообразователя и образует со стенками формообразователя угол смачивания). В этом случае известен угол a₀₁, который для формообразователя с вертикальными стенками равен

(где q — угол смачивания), но не известна точка контакта столба расплава с формообразователем. Тогда на основании зависимостей на (рис. 4) может быть решена обратная задача , по известному углу a₀₁ найдено давление P.

Данные той же работы, представленные на рис.5, позволяют найти области существования вогнутых, выпукло-вогнутых и выпуклых столбов жидкости. Для выпукло-вогнутых столбов предложен способ приближенного вычисления координат точек перегиба X_пер и Y_пер, который дает выражения:

(15)

При X_пер ³ 2/3 X₀ координаты точки перегиба, вычислены по формулам (15).

Для образования различных столбов расплава профили формирующих отверстий должны быть такими, чтобы значения g (угла наклона внутренней части поверхности формирующего отверстия к оси х) удовлетворяли соотношениям:

для выпуклого столба:

для вогнутого столба:

(16)

для выпукло-вогнутого столба:

где угол a_пер, в верхней точке перехода выпуклой части столба расплава к вогнутую может быть вычислен по уравнению:

(17)

Видно, что при слишком малых g нельзя осуществить выпуклый и выпукло-вогнутый столбы, а при больших g— вогнутый столб.

Если профиль формирующего отверстия благоприятен, то практическая реализация столба расплава данного типа зависит от давления, по которым расплав подается в формирующее устройство.

Рис.4.

Зависимость углов, образуемых профильными кривыми с горизонталью у кромки формообразователя (a₀₁), от разности диаметров затравки и отверстия в формообразователе:

a - для x₀=0,1; б - x₀=1,0; в - x₀=5,0. Кривым 1 соответствует 2Px=0;

2 - 0,2; 3 – 0,5; 4 - 0,8; 5 - 1,0; 6 - 5,0.

(рис.5)