Аналіз теорії цифрових автоматів
(курсова робота)
Содержание
Двійкова арифметика
Системи числення з довільною основою
Мішані системи числення
Форма з фіксованою крапкою
Форма з плаваючою крапкою
Прямий, зворотній та доповнюючий коди чисел
Поняття про булеві функції
Аналітичне представлення булевих функцій
Мінімізація булевих функцій
Метод квайна-мак-класкі
Висновок
Висновок
Література
Теорія цифрових автоматів закладає теоретичні основи роботи комп’ютерної техніки. У даній курсові роботі проводиться аналіз математичного підгрунтя даної дисципліни.
Двійкова система числення
Двійкова позиційна система числення
Позиційна система числення з основою 2 називається двійковою. Для запису чисел в двійковій системі використовуються лише дві цифри: 0 і 1. Число два, тобто основа системи подається як 102.
Зручність системи - в її надзвичайній простоті.
Недолік - основа системи мала, тому для запису навіть не дуже великих чисел треба використовувати багато знаків.
Переведення числа з двійкової системи числення в десяткову та з десяткової у двійкову.
Нам уже відомо, що число N, записане в системі числення з основою p як (±akak-1…a1a0) p, рівне N=ak∙pk+ak-1∙pk-1+…+a1∙p+a0
Тому:
10012=1∙23+0∙22+0∙21+1∙20=8+0+0+1=910
1000012=1∙25+0∙24+0∙23+0∙22+0∙21+1∙20=32+0+0+0+0+1=3310
Щоб перевести число із десяткової системи числення у двійкову, треба послідовно ділити десяткове число і його десяткові частки на основу двійкової системи, тобто на число 2. Ділення продовжується до тих пір, поки одержана частка не буде менша основи нової системи числення, тобто 2.
1 |40|2_
0
|20|2_ 0 |10|2
0|5|2
1|2|2
0|1
Отже число 8110 в двійковій системі: 10100012
Переведемо число 100:
100|2_
0 |50|2_
0
|25|2_ 1 |12|2
0|6|2
1|3|2
1|1
Отже, (100) 10= (1100100) 2
З переводом чисел з десяткової системи одиниць у двійкову приходиться постійно мати справу при роботі на ЕОМ.
Окрему позицію в записі числа називають розрядом. Число розрядів - розрядність (довжина). Номер позиції - номер розряду. Довжина числа - це к-сть позцій (розрядів) в записі числа. В технічному розумінні це довжина розрядної сітки.
Чим менша основа системи, тим більша довжина числа. Якщо довжина розрядної сітки n, то: Aq max=qn-1; Aq min= - (qn-1);
Діапазон представлення чисел в заданій системі:
Aq max ≥ДП≥ Aq min.
Арифметичні дії в двійковій системі (двійковій арифметиці) виконуються за звичайними для позиційних систем правилами (алгоритмами), які нам відомі з десяткової арифметики, але при цьому, звичайно, використовуються таблиці додавання і множення двійкової системи.
Таблиця додавання
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=102
(додавання нуля не міняє числа, а один плюс один буде два).
Таблиця множення
0∙0=0
0∙1=0
1∙0=0
1∙1=1
(число, помножене на нуль, є нуль; множення на один не міняє числа).
Додавання. Додавання багатозначних чисел відбувається так само, як і в десятковій системі, тобто порозрядно, починаючи з молодшого.
1011012 - 1 доданок
+ 101002 - 2 доданок
10000012 - сума
Перевіримо правильність наших обчислень:
1011012=1∙25+0∙24+1∙23+1∙22+0∙21+1∙20=32+0+8+4+0+1=4510
101002=1∙24+0∙23+1∙22+0∙21+0∙20=16+0+4+0+0=2010
4510+2010=6510
10000012=1∙26+0∙25+0∙24+0∙23+0∙22+0∙21+1∙20=64+0+0+0+0+0+1=6510
Віднімання
0-0=0
1-0=1
1-1=0
102-1=1
Знайдемо: 1110101112-11000012
1110101112
- 11000012
1011101102
Крапки, поставлені над деякими розрядами, показують, що в двійковій системі одиниця відміченого розряду роздроблюється на дві одиниці вищого розряду.Множення
111012∙11012
111012 - множник
11012 - множник
11101 - множене
+11101 - множене, зсунуте на 2 розряди вліво
11101 - множене, зсунуте на 3 розряди вліво
1011110012 - добуток
Перевірка:
111012=1∙24+1∙23+1∙22+0∙21+1∙20=16+8+4+1=2910
11012=1310; 29∙13=37710
1011110012=1∙28+0∙27+1∙26+1∙25+1∙24+1∙23+0∙22+0∙21+1∙20=256+0+64+32+16+8++0+1=37710.
Отже, в двійковій арифметиці при множенні не потрібна таблиця множення. Не треба знаходити добутки першого множника на значення послідовних розрядів другого множника, так як значення цих розрядів або 1 або 0.
Достатньо записати значення першого множника одне під одним із зсувом на один розряд; у випадку рівності якого-небудь розряду другого множника нулю, його зсувають на два розряди.
11011112
1011012
1101111
1101111
1101111
1101111 __
10011100000112
Ми розглянули алгоритм переводу чисел з двiйкової системи числення в десяткову i навпаки - з десяткової в двiйкову. Алгоритми залишаться цiлком аналогiчними, якщо замiсть двiйкової системи числення взяти будь-яку iншу.
Нехай, наприклад, деяке число записане в вiciмковiй системi числення. Це значить, що цифри в записі цього числа є коєфiцiєнти в його розкладi по степенях числа 8:
(anan-1... a1a0, a-1a-2. .) 8 =an*8n+an-1*8n-1+... +a1*8+a0+a-1*8-1+...
Для того,щоб отримати зображення цього числа в десятковiй системi числення, достатньо виконати, користуючись десятковою арифметикою, всi операцiї в правiй частинi цього виразу. Приклад. Перевести число (276,54) 8 з вiсiмкової системи числення в десяткову:
(276,54) 8=2*82+7*81+6*80+5*8-1+4*8-2=128+56+6+5/8+4/64= (190,6875) 10.
Нехай тепер потрiбно перевести число з десяткової системи числення в вiсiмкову. Як i у випадку переводу в двiйкову систему числення, розглянемо окремо цiлу i дробову частини чисел. Для цiлої частини скористаємось алгоритмом дiлення, а для дробової - множення. В першому випадку ми отримаєм шукане вiсiмкове зображення цiлого числа, зiбравши в зворотньому порядку залишки вiд дiлення на 8, а у другому випадку отримаємо вiсiмкове зображення дробу, зiбравши в прямому порядку цiлi частини при послiдовному множеннi на 8. Приклад. Перевести число (190,6875) 10 з десяткової системи числення в вiсiмкову.
Переведемо цiлу частину:
190 | 8
16 | 23 | 8
30 16 | 2 | 8 (190)10=(276)8
6 7 2 | 0
Переведемо дробову частину:
0 | 6875 (0,6875)10=(0,54)8
5 | 5000
4 | 0
тобто (190,6875)10 =(276,54)8.
Цей приклад разом з попереднiм iлюструє, як можна перевiряти правильнiсть переводу з однiєї системи числення в iншу зворотнiм переводом.
Виконання арифметичних дій в СЧ з основою р.
Змішані СЧ. Запис чисел в змішаних СЧ. Системи з кратними основами. Теорема для СЧ з кратними основами
Існує простий спосіб запису десяткових чисел за допомогою двійкових цифр - представлення чисел в мішаній двійково-десятковій системі числення. В ній кожна цифра десяткового зображення числа записується в двійковій системі числення.
Причому для того, щоб такий запис був однозначним, для представлення будь-якої десяткової цифри відводиться одна і та ж кількість двійкових розрядів - чотири. Якщо десяткова цифра вимагає для свого представлення менше значущих двійкових цифр, то попереду цих цифр дописуються нулі (так щоб загальна кількість двійкових знаків залишалась рівною чотирьом). Наприклад, десяткове число 834,25 в двійково-десятковій системі запишеться так:
(834,25) 10 = (1000 0011 0100,0010 0101).
Кожна четвірка (тетрада) двійкових цифр тут відповідає одній десятковій цифрі:
(8)10 = (1000)2-10 (2)10 = (0010)2-10
(3)10 = (0011)2-10 (5)10 = (0101)2-10
(4)10 = (0100)2-10
Теорема. Якщо P = Qn (P, Q, n - цілі додатні числа), то запис любого числа в мішаній (Q - P) - й системі числення тотожньо співпадає з записом цього ж числа в системі числення з основою Q (з точністю до нулів на початку запису цілої частини числа і на кінці дробової).Якщо P=8, Q=2, n=3, то 8=23 і, отже, згідно даної теореми запис будь-якого числа в двійково-вісімковій системі співпадає з записом того ж числа в двійковій системі. (Зауважимо, що за тією ж теоремою записи будь-якого числа в двійковій і двійково-шістнадцятковій системах теж співпадуть). Переведемо, наприклад, все теж число (405) 10 з десяткової системи числення в шістнадцяткову:
405|16
32 |25|16
85 9|1 |16
80 |0
5
Збираючи залишки від ділення, отримаємо (405) 10 = (195) 16.
Представимо тепер число (195) 16 в двійково - шістнадцятковому записі: (195) 16 = (1 1001 0101) 2-6.
Видно, що записи числа в двійковій і двійково-шістнадцятковій системах вuявuлuсь однаковими. Ця властивість двійково-вісімкової системи числення дозволяє дуже просто переводити числа з двійкової системи в вісімкову (чи шістнадцяткову) і навпаки.
Справді, будь-який двійковий запис розглядаємо як двійково-вісімковий код деякого вісімкового числа, розбиваємо його на трійки (тріади) двійкових цифр ліворуч і праворуч від коми. Кожній такій трійці ставимо у відповідність одну вісімкову цифру і отримаємо число в вісімковій системі числення.