Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках (стр. 8 из 12)

-------------kogda p<0-------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.03678794	0.03678794	0.00000000
1	0.03444494	0.03558189	0.00113696
2	0.03220334	0.03441538	0.00221204
3	0.03005929	0.03328711	0.00322782
4	0.02800907	0.03219583	0.00418676
5	0.02604910	0.03114032	0.00509122
6	0.02417592	0.03011942	0.00594350
7	0.02238620	0.02913199	0.00674579
8	0.02067672	0.02817693	0.00750021
9	0.01904439	0.02725318	0.00820879
10	0.01748622	0.02635971	0.00887349
11	0.01599934	0.02549554	0.00949620
12	0.01458096	0.02465970	0.01007874
13	0.01322842	0.02385126	0.01062284
14	0.01193914	0.02306932	0.01113018
15	0.01071063	0.02231302	0.01160239

Текст программы смотри в приложении 4

3.3 Неявные схемы

Рассмотрим две различные разностные схемы:

1. Центрально-разностная схема.

2. Трехточечная схема с весом.

Все эти схемы сводятся к стандартному виду (3.4) и решаются методом прогонки

(3.4)

Коэффициенты A_i, B_i, C_i должны удовлетворять условиям:

(3.5)

Коэффициенты B₀ , C₀ , F₀, A_N ,C_N ,F_N находятся из граничных условий. В данной задаче в зависимости от знака функции p(x,t) ставятся граничные условия и тем самым находятся наши коэффициенты.

1) Когда р>0 задается правое граничное условие:

(3.3′)

Используя уравнения (3.3′) находим коэффициенты A_N ,C_N ,F_N . Коэффициенты B₀ , C₀ , F₀ находятся из дополнительного условия, которое ставится на левом конце.

2) Когда р<0 задается граничное условие на левом конце

(3.3″)

Используя уравнения (3.3″) находим коэффициенты B₀ , C₀ , F₀

Коэффициенты A_N ,C_N ,F_N находятся из дополнительного условия, которое ставится на правом конце.

3.3.1 Центрально-разностная схема

Разностная схема задачи (3.1)-(3.3) имеет следующий вид:

1) р>0. В этом случае граничное условие задается на правом конце:

(3.6)

Используя уравнение (3.6) находим коэффициенты A_N =0, C_N=1,

Дополнительное условие на левом конце имеет вид:

(3.7)

Приведем уравнение (3.7) к виду :

(3.7′)

Отсюда находим коэффициенты:

2) В случае, когда р<0, граничное условие ставится на левом конце

(3.8)

Используя уравнение (3.8) находим коэффициенты B_0,=0, C₀=1,

Дополнительное условие на правом конце имеет вид:

(3.9)

Приводим уравнение (3.9) к виду :

(3.9′)

отсюда находим коэффициенты:

Таблица 13. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки

-------------kogda p>0--------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.03544452	0.03678794	0.00134342
1	0.03541069	0.03558189	0.00017120
2	0.03306824	0.03441538	0.00134714
3	0.03313883	0.03328711	0.00014828
4	0.03084494	0.03219583	0.00135089
5	0.03101552	0.03114032	0.00012480
6	0.02876471	0.03011942	0.00135472
7	0.02903119	0.02913199	0.00010080
8	0.02681828	0.02817693	0.00135865
9	0.02717688	0.02725318	0.00007630
10	0.02499699	0.02635971	0.00136272
11	0.02544422	0.02549554	0.00005132
12	0.02329272	0.02465970	0.00136698
13	0.02382538	0.02385126	0.00002588
14	0.02169787	0.02306932	0.00137145
15	0.02231302	0.02231302	0.00000000

Таблица 14. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами центральная разностная схема метод прогонки

-------------kogda p<0--------------50sloy
N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.03678794	0.03678794	0.00000000
1	0.03475182	0.03558189	0.00083008
2	0.03440516	0.03441538	0.00001021
3	0.03246493	0.03328711	0.00082218
4	0.03217504	0.03219583	0.00002079
5	0.03032529	0.03114032	0.00081503
6	0.03008771	0.03011942	0.00003171
7	0.02832337	0.02913199	0.00080861
8	0.02813396	0.02817693	0.00004297
9	0.02645027	0.02725318	0.00080290
10	0.02630518	0.02635971	0.00005453
11	0.02469766	0.02549554	0.00079788
12	0.02459330	0.02465970	0.00006639
13	0.02305773	0.02385126	0.00079352
14	0.02299077	0.02306932	0.00007855
15	0.02152320	0.02231302	0.00078982

Текст программы смотри в приложении 5

3.3.2 Трехточечная схема с весом

Разностная схема имеет вид:

вещественный параметр

1. p>0

На левом конце ставится дополнительное условие

2. p<0

На правом конце ставится дополнительное условие

Разностные уравнения и дополнительные условия сводятся к стандартному виду (3.4) и решаются методом прогонки.

Таблица 15. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки

50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
-------------------kogda p>0---------------kogda G=1
0	0.03684277	0.03678794	0.00005483
1	0.03562797	0.03558189	0.00004607
2	0.03446165	0.03441538	0.00004627
3	0.03332487	0.03328711	0.00003776
4	0.03223422	0.03219583	0.00003839
5	0.03117042	0.03114032	0.00003010
6	0.03015056	0.03011942	0.00003113
7	0.02915502	0.02913199	0.00002303
8	0.02820139	0.02817693	0.00002446
9	0.02726970	0.02725318	0.00001653
10	0.02637804	0.02635971	0.00001833
11	0.02550608	0.02549554	0.00001054
12	0.02467240	0.02465970	0.00001270
13	0.02385630	0.02385126	0.00000505
14	0.02307687	0.02306932	0.00000755
15	0.02231302	0.02231302	0.00000000

Таблица 16. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки

-------------------kogda p>0---------------kogda G=0.5
50sloy N priblijennoe tochnoe pogreshnosti
0	0.02231797	0.03678794	0.01446998
1	0.03255024	0.03558189	0.00303165
2	0.02198079	0.03441538	0.01243459
3	0.03239095	0.03328711	0.00089616
4	0.01731825	0.03219583	0.01487758
5	0.03017261	0.03114032	0.00096771
6	0.01587847	0.03011942	0.01424095
7	0.02811880	0.02913199	0.00101319
8	0.01659506	0.02817693	0.01158187
9	0.02595836	0.02725318	0.00129482
10	0.01001244	0.02635971	0.01634727
11	0.02310867	0.02549554	0.00238687
12	0.01064808	0.02465970	0.01401161
13	0.02440333	0.02385126	0.00055207
14	0.01016357	0.02306932	0.01290574
15	0.02231302	0.02231302	0.00000000

Таблица 17. Численное решение уравнения переноса с постоянными коэффициентами Трехточечная схема с весом Метод прогонки