Разработка автоматизированной системы для исследования устойчивости и автоколебаний в электромеханической следящей системе (стр. 6 из 9)
Полученные дифференциальные уравнения представляют собой математическую модель электропривода (следящей системы). В дальнейшем для проверки методик исследования нелинейных систем мы будем пользоваться этой моделью с учетом некоторых ограничений.
Например, можно пренебречь влиянием статического момента нагрузки и переходного процесса в цепи якоря, тогда структурная схема следящей системы может быть представлена в виде той, которая приведена на рис 1.5
Рис. 1.5
Согласно этой схеме дифференциальное уравнение линейной части системы, записанное относительно входной величины нелинейного звена релейного усилителя U2, имеет следующий вид:
(1.19)
Уравнение линейной части дополняется уравнениями нелинейных звеньев. Уравнения имеют вид:
U2=F1(U), U3=F2(U2).
2. Исследование нелинейной следящей системы аналитическими
методами
Найдем область устойчивого состояния равновесия и область автоколебаний, и определим амплитуду и частоту автоколебаний для следящей системы, схема которой изображена на рис 1.2 при учете нелинейности типа насыщения в предварительном усилителе и отсутствии релейного усилителя и обратной связи по напряжению тахогенератора.
Исходные данные:
Т 1=0,1 с – постоянная времени усилителя;
Т2=1 с – электромеханическая постоянная времени двигателя;
Кл=20 с-1 – общий коэффициент передачи линейной части системы;
К1=50 В/рад – коэффициент передачи чувствительного элемента. Исследование проведем для к2=1 и к2=2;
Составляем структурную схему с учетом допущений рис. 1.6.
Рис. 1.6
Согласно этой схеме дифференциальное уравнение линейной части системы при V1(t)=0 запишется в следующем виде:
(T2p+1)pU1=-kЛU2 (1.20)
где kЛ=k1k3k5
Дифференциальное уравнение нелинейного звена имеет вид:
(T1p+1)U2=kyU1 (1.21)
Коэффициент усиления усилителя ky является нелинейной функцией, заданной графически (рис. 1.5).
Поэтому согласно методу гармонической линеаризации, запишем для него гармонически линеаризованное выражение
(1.22)
где коэффициенты гармонической линеаризации для характеристики с насыщением имеют значение:
(1.23)Из уравнений (1.21) – (1.23) получим линеаризованное уравнение замкнутой нелинейной системы
[(T1p+1)(T2p+1)p+kЛq(a)]U1= 0, (1.24)
которому соответствует характеристическое уравнение. Оно имеет вид:
T1T2p3+(T1+T2)p2+p+kЛq(a)=0 (1.25)
Для отыскания условий существования периодического решения
(1.26)из характеристического полинома после подстановки p=j
выделим вещественную и мнимую части и приравняем их к нулю: 
(1.27)Частота периодического решения находится из второго уравнения (1.27)
(1.28)Из первого уравнения(1.27), с учетом (1.28), получим формулу, связывающую амплитуду периодического решения с параметрами системы
(1.29)Для исследования устойчивости периодического решения найдем частные производные от выражений
(1.30)Для устойчивости периодического решения (1.26) требуется, чтобы выполнялось следующее неравенство
(1.31)или с учетом выражений
(1.32)то есть частная производнаядолжна быть отрицательной.
Для определения знака этой производной по выражению (1.23) построим график q(A) рис 1.7 согласно которому
dq(A) dA
<0 при А>b (1.33)
Следовательно, амплитуда периодического решения (1.27) будет амплитудой автоколебаний лишь при выполнении следующего условия, когда А>b
При А<b автоколебания в системе отсутствуют, что и понятно, так как при этом, согласно рис. 1.5, нелинейная система превращается в линейную, которая является устойчивой.
Определим амплитуду автоколебаний. Уравнение (1.29), связывающее ее с параметрами системы, является трансцендентным. Поэтому для определения амплитуды воспользуемся графоаналитическим методом. Для этого решим уравнение (1.29) относительно следующего равенства k = kЛk2:
(1.34)и построим график, в котором k= k(A) рис. 1.7,
Рис. 1.7
где Av – является амплитудой колебаний относительно исполнительной оси системы (рис. 1.8).
Рис. 1.8
Что касается частоты автоколебаний Q, то она остается неизменной для любой переменной системы и, согласно выражению (1.28), не зависит от коэффициента k.
Граничный коэффициент передачи системы k,p определяется из выражения (1.34) при следующем равенстве А=bи равен
(1.35)Автоколебания в системе возникают лишь тогда, когда k>kГР.
Нетрудно убедиться, что граничный коэффициент (1.33) совпадает с коэффициентом передачи, найденным из условия границы устойчивости линейной системы. Но, в отличие от линейной системы, у которой за областью устойчивости лежит область неустойчивости, в системе с нелинейностью типа насыщения за областью устойчивости лежит область автоколебаний, т.е. устойчивых периодических колебаний с вполне определенной амплитудой и частотой.
На рис. 1.3 также изображены графики, связывающие амплитуду и частоту автоколебаний с шириной b зоны линейности статической характеристики нелинейного звена при равенстве К2=1
Для заданных значений параметров системы по графику рис. 1.9
Рис. 1.9
определяем частоту и амплитуду автоколебаний:
Рассмотрим случай, когда в системе не учитывается нелинейность электронного усилителя. Исследуем устойчивость состояния электромеханической следящей системы, структурная схема которой, изображена на рис. 1.10 частотным методом определения автоколебаний.
Рис. 1.10
Пусть заданы следующие параметры линейных звеньев:
K1=57,3 В/рад – крутизна статической характеристики чувствительного элемента;
к2:=2,5 – коэффициент усиления линейного усилителя;
к3=5,7 – коэффициент передачи двигателя;
k4=10-2 В с/рад – крутизна статической характеристики тахогенератора;
k5=0,001 – коэффициент передачи редуктора;
Т j =0,05 с – постоянная времени линейного усилителя; и статическая характеристика нелинейного звена (уравнение релейного усилителя) 1.11, для которой b=0,25 В
V3max=c=110B
Рис. 1.11
По заданной структурной схеме определим передаточную функцию линейной части системы WЛ(p) и гармонически линеаризованную передаточную функцию нелинейного звена WH(a).
Для этого структурную схему нелинейной системы представим в виде последовательного соединения нелинейного звена и линейной части системы рис. 1.10.
Согласно рис. 1.10 мы получим следующее:
Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена, имеющего однозначную статическую характеристику, может быть записана в следующем виде:
WH(a)=q(a) (1.37)
Где
По передаточной функции (1.36) определим частотную передаточную функцию:
(1.38)ее модуль:
(1.39)и фазу:
(1.40)По формуле (1.39) и (1.40) строим амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы рис. 1.11 и годограф нелинейного звена.
(1.41)при значениях амплитуд
В данном случае этот годограф совпадает с отрицательной вещественной полуосью и имеет две ветви.