i j j
4. Критерій Лапласса ( благоприємного в середньому рішення).
КритерійЛапласса передбачає результати реалізації кожної стратегії з урахуванням вірогідності появи кожного стану природи. Для повної сукупності незалежних станів природи сума вірогідностей дорівнює 1. Тобто, у випадку коли вірогідність появи того, чи іншого стану природи не визначена, для застосування критерію Лапласса припускається що вони однакові.
n
S Pj=1, де n- кількість станів природи
j=1
Математично критерій Лапласса має такий вигляд:
max (S Pj * Rij )
i j
5. Критерій жалкування ( Севіджа ).
Використання цього критерія передбачає, що особа, приймаюча рішення, повинна мінімізуватисвої втрати. Тобто, менеджер мінімізує потенційну помилку від прийняття невірного рішення.
Для використання критерію, в першу чергу, розраховуються втрати окремо для кодного стану природи, а далі в новій матриці втрат обирається та стратегія, яка мінімізує максимальні втрати.
min (max bij ), при bij=Rij-(min Rij )
j i i
Розглянемо на прикладі, як слід визначати розглянуті критерії для обрання оптимальної стратегії.
Приклад:
Маємо 3 можливих варіанта для вибору сільськогосподарської культури, яку слід вирощувати ( А1, А2, А3), яка в різних погодних умовах ( S1, S2, S3) має різну урожайність.
| S1 | S2 | S3 | |
| A1 | 23 | 35 | 12 |
| A2 | 15 | 30 | 25 |
| A3 | 40 | 20 | 10 |
Необхідно визначити, яку культуру слід сіяти в умовах повної відсутності інформації про майбутній стан погоди при умові, що приймаючий рішення на 60% - песиміст і на 40% - оптиміст.
Розглянемо рішення цієї задачі з використанням вищеназваних критеріїв.
1. Критерій песимізму.
| S1 | S2 | S3 | minRij | |
| A1 | 23 | 35 | 12 | 12 |
| A2 | 15 | 30 | 25 | 15 |
| A3 | 40 | 20 | 10 | 10 |
max ( min Rij ) = 15
i j
Перевагу слід віддати культурі А2.
2. Критерій оптимізму.
| S1 | S2 | S3 | maxRij | |
| A1 | 23 | 35 | 12 | 35 |
| A2 | 15 | 30 | 25 | 30 |
| A3 | 40 | 20 | 10 | 40 |
max ( max Rij ) = 40
i j
За даним критерієм перевагу слід віддати культурі А3.
3. Критерій коефіцієнту оптимізму.
А1: 12 * 0,6 + 35 * 0,4 = 21,1
А2: 15 * 0,6 + 30 * 0,4 = 21,0
А3: 10 * 0,6 + 40 * 0,4 = 22,0
Перевагу необхідно віддати культурі А3.
4. Критерій Лапласса.
Згідно з умовою задачі, немає інформації про вірогідність наставання того чи іншого стану погоди. У такому випадку:
Р1 = Р2 = Р3 =1 / 3
А1: 23 * 1/3 + 35 * 1/3 + 12 * 1/3 = 70/3
А2: 15 * 1/3 + 30 * 1/3 + 25 * 1/3 = 70/3
А3: 40 * 1/3 + 20 * 1/3 + 10 * 1/3 = 70/3
Стратегії за даним критерієм рівнозначні і зробити вибір найкріщої неможливо.
5. Критерій жалю.
Розрахуємо матрицю втрат за формулою:
Bij=Rij - min Rij
I
| S1 | S2 | S3 | |
| A1 | 23-15=8 | 35-20=15 | 12-10=2 |
| A2 | 15-15=0 | 30-20=10 | 25-10=15 |
| A3 | 40-15=25 | 20-20=0 | 10-10=0 |
Нова матриця втрат має вигляд:
| S1 | S2 | S3 | maxBij | |
| B1 | 8 | 15 | 2 | 15 |
| B2 | 0 | 10 | 15 | 15 |
| B3 | 25 | 0 | 0 | 20 |
Найкращою є та стратегія, яка забезпечує мінімальні втрати, тобто відповідає формулі:
min ( max Bij )
j i
У нашій задачі це культура А1 або А2.
Методи теорії ігр призначені для вирішення проблем, пов'язаних з обранням оптимальної стратегії беручи в розрахунок як свої особисті дії, так і дії свідомого супротивника.
Теорія ігр - розділ прикладної математики, де вивчаються моделі і методи прийняття оптимальних рішень в умоах конфлікту.
Під конфліктом розуміється така ситуація, в якій стикаються інтереси двох чи більше сторон, що наслідують різні ( часто суперечні ) цілі. При цьому кожне рішення повинно прийматися в розрахунку на свідомого супротивника, який заважає другому учаснику досягти успіху.
Для дослідження конфліктної ситуації будують її формалізовану модель, яку називають грою.
Гра - це конфлік з чітко сформульованими умовами, серед яких необхідно:
1) уточнити кількість учасників ( гроків );
2) вказати усі можливі способи дій для гроків, які називаються стратегіями гроків;
3) уточнити до якого результату призведе гра, якщо кожний з граків обере стратегію ( виграш або програми ).
Завдання теорії ігор визначити, яку стратегію повинен застосувати розумний гравець у конфлікті з розумним супротивником, щобгарантувати кожному з них виграш. При цьому, відступ любого з гравців від оптимальної стратегії може тільки зменшити його виграш .
Парні ігри з нулевою сумою займають центральне місце в теорії ігор. Це ігри, в яких:
- приймає участь тільки дві сторони;
- одна сторона виграє стільки, скільки програє друга сторона.
Цей рівноважний виграш, на який може розрахувати кожна з сторон, якщо вони будуть додержуватися своїх оптимальних стратегій, називається ціною гри.
Вирішити парну гру з нулевою сумою - значить знайти пару оптимальних стратегій і ціну гри.
Дві компаніїY і Z з метою зростання обсягів продаж розробили наступні альтернативні стратегії:
Компанія Y: - Y1 ( зменшення ціни продукції );
- Y2 (підвищення якості продукції );
- Y3 (пропонування покупцям більш вигідних умов продажу ).
Компанія Z : -Z1 (підвищення витрат на рекламу );
- Z2 ( відкриття нових дистрибюторських центрів );
- Z3 ( працевлаштування більшого числа торгових агентів).
Вибір пари стратегій Yi i Zj визначає результат гри, який позначимо як Aij і назвемо його умовно виграшом компанії Y. Тепер результати гри для кожної пари стратегій Yi Z можливо записати у вигляді матриці, у якій m рядків і n стовпців. Рядки відповідаять стратегіям компанії Y, а стовпці - компанії Z.
| Стратегії Y | Стратегії Z | ||
| Z1 | Z2 | Z3 | |
| Y1 | А11 | А12 | А13 |
| Y2 | А21 | А22 | А23 |
| Y3 | А31 | А32 | А33 |
Така таблиця називається платіжною матрицею.
Якщо гра записана у такому вигляді, значить воно призведена до нормальної форми.
Для вирішення гри необхідно знайти верхню і нижню ціну гри та сідловуточку.
Нижня ціна гри визначається шляхом відбору мінімальних значеньь по кожному рядку, а потім вибору серед них максимального значення a = max ( min Aij )
m n
Верхня ціна гри визначається шляхом відбору в кожному стовпці максимального числа, а потім вибору з цих значень мінімального b= min (max Aij )
n m
Вибір стратегій таким способом називається принципом міні - макса, який є в теорії ігор основним.
Якщо a=b, то такий елемент називається сідловою точкою, яка дає ціну гри.
Якщо матриця має сідлову точку, то гра має рішення в чистих стратегіях.
Чисті стратегії - це пара стратегій Yi і Zj , які перехрещуються у сідловій точці.
Ігри, які не мають сідлової точки (a # b ), зустрічаються частіше. Рішеня у цьому випадку теж є, але воно знаходиться в області змішаних стратегій. Це положення називається основною теоремою теорії ігор.
Вирішити задачу без сідлової точки - значить знайти таку стратегію, яка при багаторазовому повторенні гри забезпечить гроку максимально можливий середній виграш.