Ігри з природою (стр. 2 из 7)

де

.

Знання функції втрат дозволяє статистику зробити дії, які є якнайкращими в умовах інформації, яку він має про стан природи. Знання апріорного розподілу вірогідностей дозволяє визначити середні втрати, яких зазнає статистик, виконуючи ту або іншу дію:

Якнайкращою для статистика дією буде байесовська дія а*, при якій втрати будуть мінімальні, тобто

Статистик не обов’язково повинен обмежитись використанням лише однієї чистої стратегії. Він може застосувати суміш чистих стратегій у відповідності до певного ймовірнісного закону розподілу. В цьому випадку статистик буде користуватись змішаною стратегією. Для змішаної стратегії статистик повинен задатися розподілом ймовірностей

, який визначає ймовірності, з якими будуть використані чисті стратегії. В загальному випадку статистик має в розпорядженні деякий набір змішаних стратегій , що називається простором змішаних стратегій статистика.

Якщо статистик застосовує змішану стратегію

, а природа — змішану стратегію , то середні втрати статистика:

В цьому випадку задача статистика полягає в тому, щоб вибрати таку стратегію

, при якій його середні втрати будуть мінімальні, тобто:

Тут статистик не робить спроби уточнити свої знання про дійсний стан природи шляхом проведення експерименту. Тому даний тип статистичної гри може бути названий статистичною грою без експерименту.

1.2 Статистичні ігри без експерименту

1.2.1Подання статистичної гри без експерименту у вигляді S-гри

Статистична гра може бути подана у вигляді еквівалентної S-гри абсолютно таким же чином, як це робилося в стратегічних іграх. Для цього з кожною з чистих стратегій

пов'язуємо точку в m-мірному просторі, координатами якої будуть втрати статистика при різних станах природи .[5]

Розглянемо декілька принципів, якими може керуватися статистик при виборі своєї стратегії. При цьому серед статистиків не існує єдиної думки про те, який з принципів є якнайкращим в статистичних іграх. Іншими словами, не існує універсального правила, що дозволяє вибрати, певний образ дії незалежно від ситуації, що склалася. Хоча можуть бути розбіжності щодо того, що не потрібно робити в даній ситуації, можна прийти до повної згоди щодо того, що не потрібно робити. Це можливо при введенні поняття допустимих стратегій, аналогічного поняттю домінуючих стратегій в стратегічних іграх.

1.2.2 Принципи вибору стратегій в статистичних іграх

Принципом вибору називають правило, що дозволяє визначити якнайкращу змішану стратегію статистика. В різних випадках статистик може користуватися різними принципами вибору своєї стратегії.

Одним з можливих принципів вибору стратегії може бути принцип мінімакса, який успішно застосовують в стратегічних іграх, коли гра ведеться проти розумного супротивника, охочого заподіяти нам найбільшого збитку. Проте у ряді випадків доцільно використовувати цей принцип і в статистичних іграх. Згідно принципу мінімакса статистик вибирає таку змішану стратегію

, при якій середні втрати

будуть мінімальні при якнайгіршому для нього стані природи . Найгіршим випадком буде таке , коли величина приймає максимальне значення. Цю величину статистик і повинен мінімізувати, тобто вибирати стратегію , яка забезпечує умову:

Іноді доцільно вибирати стратегію, виходячи не з повних втрат L(

, а), а з додаткових L’(

, а), що визначаються із співвідношень:

L’(

, а)= L(

, а) -

.

Мінімаксні принципи, що витікають з припущення, що природа діє якнайгіршим для статистика чином, є виправданими в стратегічних іграх, але в статистичних іграх вони виражають точку зору дуже обережної людини, що прагне отримати доступне і що не ганяється за нездійсненним, щоб не зазнати випадково великого збитку. Недоліком мінімаксних принципів слід вважати також те, що вони не враховують апріорної інформації про стани природи і тим самим обмежують той виграш, який ця інформація може дати.

Тому мінімаксні принципи можна рекомендувати в тих випадках, коли відсутня апріорна інформація про стани природи або є підстави сумніватися в достовірності цієї інформації. Іншим принципом вибору стратегії, що враховує апріорний розподіл вірогідності

, є байесовський принцип. Згідно байесовському принципу змішану стратегію статистика

(а) оцінюють шляхом усереднювання втрат по всіх можливих станах природи з урахуванням апріорного розподілу вірогідностей

, тобто по величині:

Якнайкращою стратегією

(а) при цьому буде така, яка дає мінімум величини . Цю якнайкращу стратегію називають байесовською стратегією.[5]Байесовський принцип, природно, можна застосовувати як до повних, так і до додаткових втрат. Проте в більшості випадків застосовують байесовський принцип до повних втрат.

1.2.3 Допустимі стратегії в статистичних іграх

Припустимо, що розглядаємо змішану стратегію статистика

(а). Можуть зустрітися два випадки.

1. Не можна знайти жодній стратегії, кращої ніж

(а). Це означає, що не існує такої стратегії

(а), для якої:

(1.2.3.1)

при всіх

, хоча для деяких співвідношення (1.2.3.1) буде справедливе. В цьому випадку стратегію

(а)можна назвати допустимою, але вона може і не бути бажаною, оскільки можуть бути і інші стратегії, які також мають право на увагу.

2. Існує стратегія

(а), краща ніж

(а). Це означає, що співвідношення (1.2.3.1) для стратегії

(а) буде справедливе при всіх

. В цьому випадку стратегію

(а)потрібно виключити з розгляду на користь стратегії

(а), тобто вважати її неприпустимою. Допустимі стратегії зручно розглядати в термінах S-гри. Оскільки в S-грістратегія статистика визначається точкою S опуклої оболонки S*, а втрати при різних визначаються координатами цієї точки, то стратегія, що визначається точкою S, буде допустимою, якщо не існує іншої точки , у якої всі координати будуть менше відповідних координат точки S. Метод знаходження допустимих стратегій розберемо для випадку, коли простір станів природи складається з елементів і . На мал. 1.2.3.1 показана опукла область S*, що відповідає цьому випадку.