Ігри з природою (стр. 6 из 7)

Крім того, в ситуаціях з «поганою невизначеністю», коли болісно не вистачає інформації, головна задача — цю інформацію отримати, а не вигадувати хитромудрі методи, що дозволяють без неї обійтися. Одна з основних задач теорії статистичних рішень — це якраз планування експерименту, мета якого — з'ясування або уточнення якихось даних.

2. Практична частина

Приклад 1

Уряд планує будівництво чотирьох типів електростанцій:

(теплових), (пригребельних), (безшлюзових) і (шлюзових). Ефективність кожного з типів залежить від різних чинників: режиму річок, вартості палива і його перевезення і т.п. Необхідно вибрати самий оптимальний варіант.

Розв‘язання

Припустимо, що виділено чотири різні стани, кожний з яких означає певне поєднання чинників, що впливають на ефективність енергетичних об'єктів. Стани природи позначимо через

і . Економічна ефективність будівництва окремих типів електростанцій змінюється залежно від станів природи і задана матрицею:

Згідно критерію Вальда:

Тоді оскільки

, то слід передбачити будівництво безшлюзовоїГЕС (А₃).

Скористаємося критерієм Севіджа. Побудуємо матрицю ризиків:

Покажемо як були отримані елементи матриці ризиків.

Оскільки

, то:

Поскольку

, то:

Поскольку

, то:

Поскольку

, то:

Згідно критерію Севіджа визначаємо

. Відповідно до цього критерію також передбачається будівництво безшлюзовоїГЕС (А₃).

Скористаємося критерієм Гурвіца. Припустимо

;

тоді:

Отримаємо

, тобто слід прийняти рішення про будівництво пригребельних ГЭС( ). Якщо ж припустити відомим розподіли вірогідності для різних станів природи, наприклад, якщо вважати ці стани рівноімовірними ( ), то для ухвалення рішення слід знайти математичне очікування виграшу:

Оскільки максимальне значення має М ₃, то слід вибрати рішення А3.

Відповідно до даних отриманих в розв’язку можна зробити загальний висновок: використовуючи при розв’язку критерій Вальда і Севіджа була отримана рекомендація про будівництво безшлюзовой гідроелектростанції (А₃), використовуючи при розв’язку критерій Гурвіца була отримана рекомендація про будівництво пригребельної гідроелектростанції(

), але якщо ж припустити відомим розподіли вірогідності для різних станів природи, то дана рекомендація про будівництво безшлюзовой гідроелектростанції (А₃) .

Приклад 2

Інвестор планує великі капіталовкладення в підприємство. Був проведений аналіз руху і технічного стану основних засобів. Дані приведені у таблиці 2.1.

Підприємство	Коефіцієнт оновлення	Коефіцієнт придатності	Коефіцієнт приросту
	0,15	0,64	0,12
	0,27	0,65	0,27
	0,3	0,7	0,24

Таблиця 2.1 Дані про рух і технічний стан основних засобів

На основі цих даних інвестору необхідно зробити вибір.

Роз'вязання

Припустимо, що виділено три різні стани, кожний з яких означає певне поєднання чинників, що впливають на ефективність і прибутковість підприємства . Стани позначимо через

. Складемо матрицю на основі отриманих даних :

Згідно критерію Вальда:

Тоді оскільки

, то слід на основі даних інвестувати в друге підприємство.

Скористаємося критерієм Севіджа. Побудуємо матрицю ризиків:

Покажемо як були отримані елементи матриці ризиків.

Оскільки

, то:

Поскольку

, то:

Поскольку

, то:

Згідно критерію Севіджа визначаємо

.

Відповідно до цього критерію слід інвестувати у третє підприємство.

Скористаємося критерієм Гурвіца. Припустимо

;

тоді:

Отримаємо

, тобто слід інвестувати у друге підприємство.

Відповідно до даних отриманих в розв’язку можна зробити загальний висновок: використовуючи при розв’язку критерій Вальда і Гурвіца була отримана рекомендація про інвестування у підприємство

, використовуючи при розв’язку критерій Севіджа була отримана рекомендація про інвестування у підприємство .

Висновки

Специфічним видом ігор, що мають велике значення при аналізі різних практичних ситуацій, є статистичні ігри. Вони мають ряд істотних відмінностей від стратегічних ігор. В основі теорії стратегічних ігор лежить припущення, що інтереси двох гравців протилежні. Кожний з гравців прагне так вибрати свою стратегію, щоб отримати для себе найбільшу вигоду і звести до мінімуму вигоду супротивника. В таких іграх кожний гравець діє активно і прагне по можливості використовувати оптимальну стратегію. Під стратегією природи розуміється повна сукупність зовнішніх умов, в яких доводиться ухвалювати рішення. Цю сукупність зовнішніх умов називають станом природи

. В загальному випадку існує деяка множина можливих станів природи яка називатиметься простором стану природи, а елемент цього простору – чистими стратегіями природи. Задача статистика полягає в тому, щоб ухвалити яке-небудь рішення або виконати яку-небудь дію з сукупності рішень або дій. Статистик повинен уміти оцінити кожну з своїх дій. Функція L(

, а) називається функцією втрат. Знання функції втрат дозволяє статистику зробити дії, які є якнайкращими в умовах інформації, яку він має про стан природи. Знання апріорного розподілу вірогідності дозволяє визначити середні втрати, які несе статистик, виконуючи ту або іншу дію. Статистична гра може бути представлена у вигляді еквівалентної S-гриабсолютно таким же чином, як це робилося в стратегічних іграх. Не існує універсального правила, що дозволяє вибрати, певний образ дії незалежно від ситуації, що склалася. Принципом вибору називають правило, що дозволяє визначити якнайкращу, змішану стратегію статистика. В різних випадках статистик може користуватися різними принципами вибору своєї стратегії. Одним з можливих принципів вибору стратегії може бути принцип мінімакса, який успішно застосовують в стратегічних іграх, коли гра ведеться проти розумного супротивника, охочого заподіяти нам найбільший збиток. Проте у ряді випадків доцільно використовувати цей принцип і в статистичних іграх. Мінімаксні принципи, витікаючі з припущення, що природа діє якнайгіршим для статистика чином, є виправданими в стратегічних іграх, але в статистичних іграх вони виражають точку зору дуже обережної людини, що прагне отримати доступне і що не ганяється за нездійсненним, щоб не потерпіти випадково великого збитку. Недоліком мінімаксних принципів слід рахувати також те, що вони не враховують апріорної інформації про стани природи і тим самим обмежують той виграш, який ця інформація може дати. Іншим принципом вибору стратегії, що враховує апріорний розподіл вірогідності, є байесовський принцип. Байесовський принцип, природно, можна застосовувати як до повних, так і до додаткових втрат. Найпростіший випадок вибору рішення в грі з природою — це випадок коли якась із стратегій гравця А перевершує інші («домінує» над ними). Тут виграш домінуючої стратегії при будь-якому стані природи не менше ніж при інших стратегіях, а при деяких — більше; значить потрібний вибирати саме цю стратегію. Якщо навіть в матриці гри з природою немає однієї домінуючої над всіма іншими стратегії, все ж таки корисно подивитися, чи немає в ній дублюючих стратегій і поступливих іншим за всіх умов. Згідно критерію Вальда гра з природою ведеться як гра з розумним, причому агресивним супротивником, що робить все для того, щоб перешкодити нам досягти успіху. Оптимальною вважається стратегія, при якій гарантується виграш у будь-якому випадку не менший, ніж «нижня ціна гри з природою».