Введение в физику скачков (стр. 3 из 7)

.

Собственную энергию возмущения частицы записываем как ее кинетическую энергию, определяя скорость u для ее свободного состояния:

.

В результате мы можем записать соотношение между энергиями W* и Wo1 в виде

Re = u r r/h

4,5 , u 1 = 4,5 h /(r r) , Re1 = 4,5.

Здесь параметры m, r , r, h , u относятся к частице, в частности r — ее радиус. В случае Re > Re1 частица теряет “жесткую” связь со средой; ее кинетическая энергия позволяет преодолеть предел текучести, характеризуемый энергией Wo1; поток переходит из состояния потенциального в состояние сплошного, напоминающего мед [5]. На этой фазе начинается подготовка к расслоению потока, а сама фаза есть катастрофа предыдущей.

Переход от сплошного потока к ламинарному Re2 . В качестве объекта рассматриваем некоторый слой потока с площадью соприкосновения A и линейным поперечным размером r. Основное состояние слоя — состояние его единства со сплошным потоком. Энергию такого состояния определяем как абсолютную величину работы, затраченной на образование слоя в поле квазиупругой силы [5]:

F = Ah u /r

и принимаем равной:

Началом отсчета для возникающего возмущения на этой фазе является скорость u 1 из-за катастрофы предыдущей связи. Поэтому собственная энергия возмущения слоя записывается в виде

Предельную скорость u 2 отыскиваем из равенства W*(u — u 1) = = Wo2 . В результате получаем:

u 2 = 7,18 h /r r ,Re2 = 7,18.

В момент, определяемый Re = Re2 , одновременно существуют целостный поток и независимый слой как часть этого потока. Для Re > Re2 начинается расслоение потока в виде скачкообразного выделения слоев с различающейся скоростью; возникает ротор скорости, определяющий в дальнейшем появление мелкомасштабных вихрей. Возникшая фаза есть катастрофа предыдущей.

Переход от ламинарного потока к потоку со стационарными завихрениями Re3. В качестве объекта рассматриваем трубку тока. На основании закона Хагена — Пуайзеля [6] энергию основного состояния мы можем записать в виде

Wo3 = 4p rlu ,

где r, l — радиус трубки тока и ее длина соответственно. Началом отсчета для возникающего возмущения ввиду новой связи является скорость u 2. Собственную энергию возмущения записываем в виде

W*(u – u 2) = p r2lr (u – u 2)2.

Значения Re3 и u 3 находим из равенства W* (u – u 2) = W03:

u 3 = 19,8 h /r r, Re3 = 19,8.

При нарушении энергетического порогового соотношения Re > Re3 перепад давления в трубке исчезает за счет ее закручивания. Возникают стационарные вихри с фиксированными центрами вращения. В свою очередь, на этой фазе происходит катастрофа — смена геометрического образа потока. Начинается подготовка к отрыву образовавшихся вихрей от локальных центров вращения.

Образование вихревой цепочки Кармана Re4 . Энергия основного состояния потока, формирующая цилиндрическое вихревое образование, записывается на основании известного закона для момента сил [5]:

,

— и равна:

Wo4 = 4p 2h lru .

Собственная кинетическая энергия вращающегося цилиндра равна:

где r, l — радиус и длина цилиндра соответственно. Из предельного равенства W* = Wo4 находим

u 4 = 43,06 h /r r , Re4 = 43,06.

В момент Re = Re4 вихрь есть одновременно часть локальной области и движущегося потока. При переходе Re > Re4 вихри отрываются от центров вращения и становятся частью потока.

Найденные числа Rej, j =

, являются конкретным выражением исследуемого нами закона и находятся в согласии с соответствующими участками диапазона Re, указанными в [5].

2.4. “Слепые пятна” ФАР.

Фазируемые антенные решетки (ФАР) являются антеннами, принимающими и излучающими электромагнитные волны сверхвысоких частот (СВЧ), и представляют собой определенное множество элементарных излучателей (элементов), объединенных в одно целое с помощью системы СВЧ питания таким образом, что формируемый ФАР электромагнитный луч может перемещаться в свободном пространстве за доли секунды, обслуживая практически полусферу.

Отмечен [5] эффект исчезновения луча под определенными угловыми направлениями для некоторых конструкций ФАР. Эффект получил название “слепые пятна” ФАР и весьма нежелателен для радиолокации, где применяются сами ФАР.

В антенне возникает явление резонанса, когда СВЧ электромагнитная энергия отражается от апертуры к генератору волн. Для возникающей аномалии характерно, что в диаграмме направленности элемента в составе решетки возникают нулевые провалы под соответствующими “слепым пятнам” углами. В то же время для одиночного излучателя таких провалов нет. Природа эффекта считалась неизвестной.

Соответствующее энергетическое пороговое соотношение было получено нами ранее [8]:

где l — длина волны в свободном пространстве; j — азимут; q — угол, отсчитываемый от нормали к апертуре ФАР. Здесь параметр gи представляет собой относительную мощность, излучаемую синфазно и равномерно возбужденной площадкой S, приходящейся на один элемент в апертуре решетки, под углами q , j . Параметр gи характеризует основное состояние элемента.

Параметр g0 представляет собой относительную мощность, излучаемую одиночным элементом в токопроводящем экране под q , j , и характеризует собственную энергию возмущения элемента в составе решетки. Соотношение было апробировано с помощью результатов физического и вычислительного экспериментов, приведенных в известной литературе или полученных автором.

Удовлетворение неравенства определяет случай слабого взаимодействия излучателей в решетке: gэ » g0 , gэ — относительная мощность, излучаемая в направлении q , j элементом в составе решетки. В то же время нарушение этого неравенства в рассмотренных случаях приводило к появлению качественно нового типа электромагнитного поля и, как следствие, к появлению нулевых провалов в диаграмме направленности gэ (q , j ).Следует заметить также, что соотношение g0/gи выполняет роль коэффициента подобия для ФАР аналогично числам Re , Фr.

Благодарен М. М. Ганцевичу за полезное обсуждение по теме раздела и постоянные призывы к простоте изложения.

2.5. Скачки в поле упругих сил: машина Зимана.

Система [6] представляет собой плоский диск 3 с двумя пружинками (или резинками) и размещается на плоскости YOX (рис. 3). Диск может поворачиваться вокруг своей оси с центром в точке О1; концы пружинок 1, 2 размещены подвижным образом на периферии диска в точке а; второй конец пружинки 1 закреплен также подвижно на плоскости в точке F. Возмущение в систему вносит перемещение свободного конца пружинки 2 с координатами x, y.

Рис. 3

Машина Зимана была предложена ее автором в качестве модели в связи с исследованиями в области теоретической биологии, например, с анализом развития костных или мышечных тканей из одной и той же клеточной культуры. Известна ромбовидная область, определенная своими границами Bj , j =

, где перемещение свободного конца c пружины 2 приводит к плавному изменению геометрии машины. Соответствующее пересечение границ области концом c вызывает скачок в состоянии системы. В частности, пересечение нижнего вертикального клюва y2 приводит к началу плавного вращения диска. В то же время приход в точку верхнего вертикального клюва y3 делает диск неподвижным при дальнейшем движении c вдоль оси Y. При пересечении концом c боковой границы, например в случае B4 (90° q 180° ), следует бросок диска из области q < 180° в область q > 180° .

Выделим в рамках закона сохранения и превращения энергии определенного вида бифуркационное множество Bj. Прежде определим особые точки на вертикальной оси yj , j =

. Собственную энергию возмущения машины мы определяем как упругую энергию пружины 2, исключая из рассмотрения связь диска с плоскостью через посредство пружины 1. Мы сохраняем при этом все остальные физические и геометрические условия, ограничения, совокупность которых образует машину Зимана, и определяет в ней физические процессы. Очевидно, что этому отвечает случай нахождения точки a в крайнем нижнем положении q = 0 и перемещения конца c вдоль оси Y: х = 0. Для энергии мы можем записать в результате

где к2 — коэффициент упругости пружины 2; y = l2 — длина пружины при с = с(0, y); l02 — длина пружины 2 в спокойном состоянии. Первое основное состояние диска мы определяем как состояние его “жесткой” связи с плоскостью. Энергию этого состояния записываем в виде

где к1 — коэффициент упругости пружины 1; l* — длина пружины 1 при q = 0о ; l01 — длина пружины 1 в спокойном состоянии. Второе основное состояние определяем как состояние связи точки а с центром вращения диска о1. Энергию, характеризующую это состояние, мы определяем как абсолютную величину работы, затраченной на перемещение точки а из центра о1 как начала отсчета на периферию диска x = 0, y = 0 в поле упругой силы пружины 2: