Апология Бесконечности (стр. 4 из 4)

Апологию бесконечности мы завершим сопоставлением бесконечного ряда W всех порядковых чисел с нашим бесконечным числовым рядом Ω, являющимся развитием и углублением сущности ряда порядковых чисел.

Бесконечный ряд W порядковых чисел имеет вид:

W={0,1,2,3,...,n,...;

ω,ω+1,ω+2,ω+3,...,ω+n,...; ...; ω×n,ω×n+1,ω×n+2,ω×n+3,...,ω×n+n,...; ...

...; ω₁,ω₁+1,...; ω₂,ω₂+1,...; ...; ω_ω,ω_ω+1,...; ...}.

Его началом является уже рассматривавшаяся выше знаковая конструкция (6), или канторовский бесконечный ряд порядковых чисел. Он обладает уже упоминавшимися выше свойствами: за всеми конечными числами n следует наименьшее трансфинитное число ω, которое указывает также количество предшествующих ему конечных чисел. Само же число ω не имеет предшественника, то есть левого соседнего с ним числа ω-1. Любое бесконечное число вида ω, ω×n,ωⁿ, ω^ω и т.д. является предельным и не имеет предшественника. Не имеют предшественников и все числа, кратные, если можно так сказать, начальной бесконечности ω. Это значит, что перед всеми этими числами есть "дырки". Говорят, что ряд W не имеет наибольшего бесконечного числа. Логически это то же самое, что говорить, что множество конечных чисел не имеет наибольшего конечного числа.

Бесконечный числовой ряд Ω, свободный от концептуальных противоречий, выглядит следующим образом:

Ω={0,1,2,...,N-1;

N,N+1,...,2N-1;;...; nN,nN+1,...,(n+1)N-1; ;...; 2^N-N,2^N-N+1,...,2^N-1;

ω_-=2^N,ω_-+1,ω_-+2,...,ω_-n-1,ω_-n,ω_-n+1,...,ω_-1-1,ω_-1,ω_-1+1,...

...,ω₀-1,ω₀,ω₀+1,...,ω₁,...,ω_i,...,ω₊}.

Ряд Ω имеет фундаментальные отличия от ряда W. Во-первых, он не имеет никаких концептуальных противоречий. В частности, он прост по существу: на нем справедливы принципы классической логики и конечной арифметики. Во-вторых, его счетное множество является не бесконечным, а конечным. И в-третьих, ряд Ω не имеет в известном смысле не только наибольшего бесконечного числа, но и наименьшего бесконечного числа. Этот факт в ряде Ω отражен символами предельных бесконечностей: ω_-– наименьшей и ω₊– наибольшей бесконечностей. Его архитектура существенно отличается от архитектуры ряда W и заключается в том, что ряд Ω может быть разбит на пять классов:

-начальный класс, он же – счетное множество N=0,1,2,...,N-1 всех конечных чисел. Его кардинал N называется конечным числом Кагота. Кагот – герой повествования чукотского писателя Юрия Рытхэу [15] (Кагот искал числа, которые уже не конечные, но еще и не бесконечные, и считал, что тот, кто найдет их, будет счастлив и все узнает). О предельном числе Nздесь говорится, что оно не существует в канторовском смысле, то есть в том смысле, в каком говорится в известной теории множеств о несуществовании наибольшей бесконечности в ряде W;

-промежуточный класс чисел от N,N+1,N+2,... до 2^N-1, который представляет собой числа, уже не являющиеся конечными, но и не являющиеся еще бесконечными. Называются они числами Кагота;

-класс малых бесконечных чисел от ω_-=2^N,ω_-+1,ω_-+2,... до ω₀-1. Наименьшее бесконечное число ω_- называется бесконечным числом Кагота. О его несуществовании говорится в том же смысле, что и о несуществовании числа N;

-начальное бесконечное число ω=ω₀=∞/e. Оно является онтологическим основанием всех бесконечных кардинальных чисел – и больших ω₁,ω₂,..., и малых ω_-1,ω_-2,...;

-класс больших бесконечных чисел от ω+1,ω+2,... до наибольшего кардинала ω₊, о несуществовании которого говорится то же, что и о несуществовании чисел N и ω_-.

Из описания ряда Ω видно, что конечные числа связаны с бесконечными числами соотношением ω_-=2^N, которое называется аксиомой конечного-бесконечного, или гипотезой Кагота.

Если отвлечься от концептуальных противоречий ряда W, то можно отметить следующие его сходства и различия с бесконечным рядом Ω. Первое: все конечные числа в обоих рядах представляют собой, в общем-то, одно и то же счетное множество N, но в ряде W оно постулируется бесконечным с мощностью ω, а в ряде Ω оно обосновывается как конечное множество с мощностью N. Кроме этого, число ω в ряде W не имеет предшественника, а число N в ряде Ω имеет в качестве предшественника число N-1 (число N– это (L+1)-разрядное двоичное число 10...00, а число N-1– это L-разрядное двоичное число 1...11). Второе: все числа в ряде W, следующие за конечными числами и меньшие первого несчетного множества ω₁, являются счетными трансфинитными числами и характеризуют все счетные вполне упорядоченные множества, то есть это счетно бесконечные числа, составляющие вместе с конечными числами несчетное множество мощности ω₁=2^ω [12, с. 69-70]; в ряде же Ω за конечными числами следует класс чисел Кагота, уже не конечных, но еще и не бесконечных, которые вместе с конечными числами составляют наименьшее бесконечное множество ω_-=2^N. В некотором смысле формально, а именно в том смысле, что если числу ω из W сопоставляется число N из Ω, а числу ω₁ из ряда W– число ω_- из Ω, то начальная часть ряда W, имеющая мощность

и представляющая собой знаковую конструкцию (6), есть такая же начальная часть ряда Ω, которая, однако, включает в себя наряду с конечными числами числа Кагота, не являющиеся еще бесконечными, но уже и не конечные, и имеет (предельную) наименьшую бесконечную мощность ω_-. Конечно, это так в том смысле, что не имеет особого значения – сколько противоречий имеет ряд W – столько же или на одно больше. Дальше в ряде порядковых чисел W идут просто трансфинитные числа, имеющие мощности ω₁,ω₂,... . В ряде же Ω за числами Кагота идут сначала числа малых бесконечных мощностей ω_-,...,ω_-2,ω_-1, затем – начальное бесконечное число ω₀, а за ним – числа мощности ω₀, и только потом уже идут числа больших бесконечных мощностей ω₁,ω₂,...,ω₊. как видим, ряд W содержит в себе в качестве подмножества лестницу кардиналов ω,ω₁,ω₂,..., которая имеет начальный кардинал и не имеет последнего кардинала, ряд же Ω имеет существенно иную лестницу кардиналов ...,ω_-2,ω_-1,ω₀,ω₁, ω₂,..., которая уже не имеет не только последнего кардинала, но и первого, что показывает, что множество трансфинитных чисел становится более интересным и богатым.

Таким образом, несмотря ни на какие противоречия, бесконечность во всех своих ипостасях была, есть и будет. Аристотель говорил: "Infinitum Actu Non Datur!" (актуальная бесконечность не существует!), мы же говорим: "Infinitum Actu Datur!" (актуальная бесконечность существует!).

Список литературы

1. Чанышев А.Н. Курс лекций по древней философии. М., 1981.

2. Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М., 1983.

3. Бурова И.Н. Парадоксы теории множеств и диалектика. М., 1976.

4. .Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. М., 1987.

5. Теребилов О.Ф. Логика математического мышления. Л., 1987.

6. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? М., 1987.

7. Зенкин А.А. Ошибка Георга Кантора. // Вопросы философии. 2000, №2.

8. Зенкин А.А. Infinitum Actu Non Datur. // Вопросы философии. 2001, №9.

9. Зенкин А.А. Когнитивная визуализация трансфинитных объектов классической (канторовской) теории множеств. // Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. М., 1997.

10. Математическая энциклопедия. М., 1977, Т.1, 1984, Т.4.

11. Станишевский О.Б. Аритмология (Введение в онтологию): Бесконечность и рефлексивная сущность Бытия. Таганрог, 2003.

12. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977.

13. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М., 1979.

14. Волков В.А. Элементы теории множеств и развитие понятия числа. Л., 1978.

15. Рытхэу Ю. Числа Какота. - Избранное. Л., 1982, Т.2.