Итак, мы выяснили, что каждый из указанных типов задач несёт в себе определённую развивающую функцию. Так, переопределённые задачи требуют умения анализировать условие и строить решение задачи при помощи минимального числа данных. Противоречивые задачи заставляют делать проверку решения, более внимательно анализировать данные задачи. Неопределённые задачи требуют достаточно обширных знаний об объекте задачи, о связях его с другими математическими объектами, которые могут оказаться полезными при получении пусть неопределённого, но всё же ограниченного некими рамками ответа.
Известно (см., например, книги Д.Пойа), что процесс решения математической задачи предусматривает реализацию четырёх этапов: изучение текста задачи, составление плана решения, его выполнение, изучение полученного решения ("взгляд назад"). Для успешного формирования у школьников умений, связанных с реализацией того или иного вида деятельности, необходимо обучать их самостоятельно выполнять каждый из указанных этапов процесса решения задач. Для этого целесообразно учить учащихся операциям, соответствующим определённому этапу работы с задачей. Указанные выше типы задач и позволяют ученику усовершенствовать свои умения в каждом из данных видов деятельности.
III. Прикидка методического подхода
к обучению решению «аномальных» задач
Как же научить учащихся решать задачи указанных типов? Как приучить их к "нестандартному"[1] подходу к решению задачи?
Основой для ответа на поставленный вопрос можно считать известную таблицу Д.Пойа "Как решать задачу" [16, с. 210-212]. В числе основных вопросов, над которыми следует задумываться решателю, Д.Пойа выделяет следующие:
Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво?..
Сохраните только часть условия, отбросив остальную часть: насколько определённым окажется тогда неизвестное? Как оно сможет меняться?..
Все ли данные вами использованы? Все ли условия? Приняты ли во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?..
Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения?..
Перечисленные выше вопросы и советы из таблицы Д.Пойа являются малопопулярными или совсем непопулярными у школьных учителей. Хотя бы потому, что первая часть этих вопросов и не требуется в отношении традиционных школьных задач. Для того, чтобы таблица Д.Пойа заработала в полной мере, и возникает необходимость дополнить школьные наборы задач задачами неопределёнными и переопределёнными.
Попробуем осмыслить возможный методический подход к обучению учащихся решению таких задач.
Начнём с того, что осторожное включение таких задач возможно уже в 5–6 классах или даже раньше [24, с. ]. Начинать, как нам представляется, следует с введения задач переопределённых, предупреждая на первых порах учащихся о наличии избыточных данных и предлагая им найти такие данные, постепенно переходя от задач простых к таким задачам, в которых избыточные данные не сразу бросаются в глаза. Когда учащиеся приобретут некоторые навыки решения таких задач, можно перейти к введению таких задач уже без предупреждения о наличии избыточных данных, чередуя эти задачи с традиционными определёнными задачами. Таким образом, не зная, имеется ли в условии задачи лишнее данное или нет, но подозревая, что оно может быть, учащиеся к каждой задаче будут подходить критически, что вызовет большую, чем в традиционных условиях, необходимость внимательного анализа условия задачи и различных подходов к её решению.
На некотором этапе переопределённые задачи, предлагаемые учащимся, могут стать противоречивыми. Использование таких задач постепенно приучит их к тому, что обнаруженное в условии лишнее данное не следует игнорировать, но следует проверять его на противоречивость (при этом, как нам представляется, чаще нужно ориентироваться на вычисления с приближёнными величинами, чем с точными). Кроме того, использование задач с противоречивыми данными позволит учащимся заметить (не без помощи учителя) полезность вдумчивого анализа условия, в результате которого можно выявить противоречивость и тем самым не искать решения, т.е. облегчить себе работу. А поскольку никогда не ясно, есть ли противоречие в условии задачи или нет, то вдумчивому анализу будут подвергаться условия всех задач, что следует считать чрезвычайно полезным качеством решателя задач.
Когда переопределённые задачи станут привычными и не будут вызывать у учащихся настороженности и протеста, можно перейти к решению неопределённых задач, снова же вначале предупреждая учащихся о том, что в условии задачи некоторых данных не хватает, и предлагая им указать, каких. При этом полезно сравнивать, как зависит ответ задачи от различных дополнений учащихся – с возможным, но пока не обязательным, выходом на диапазон этого ответа. Ибо целью решения таких задач, как уже отмечено выше, и является указание диапазона возможных состояний ответа.
Мы попытались разработать систему задач с использованием всех задач рассматриваемой классификации в одной из тем школьного курса геометрии.
Критерии создания такой системы задач рассматриваются в [19]. Автор пишет :
"Последовательное, постепенно усложняющееся варьирование условия задач является основным принципом, определяющим построение упражнений при обучении решению типовых задач. Вначале – на первоначальных этапах самостоятельного решения новой для ученика типовой задачи (после того, как она разобрана в классе) – варьирование условия касается самых несущественных его сторон, непосредственно не влияющих на применение основного приёма решения, а именно сюжета задачи и числовых величин. Последующее варьирование условия задачи имеет целью не столько закрепление в памяти учащихся того или иного типового приёма (это тоже необходимо), сколько выработку умения распознавать за различной внешней формой задачи её одинаковую логическую структуру. На этом этапе большое значение приобретает решение задач данного типа аналогичных по логической структуре, но изменённых по словесной формулировке. При этом изменение формулировки должно касаться той части условия, которая является определяющей для выбора приёма решения.
Решая систему задач, построенную по этому принципу, учащиеся приучаются улавливать самое существенное в условии задач, правильно абстрагируясь от внешних сторон – своеобразия их формулировок.
На следующем этапе целесообразно вводить в условия задач дополнительные элементы, увеличивая количество числовых данных. Исследования показывают, что в этом случае, несмотря на то, что введение дополнительных данных никак не влияет на использование основного приёма решения, для учащихся всё же создаётся новая ситуация, требующая от них умения вычленить ту часть условия, которая определяет применение типового приёма и в ходе действий при решении задачи найти ему правильное место.
То же самое следует отметить и о применении задач переопределённых, корректных, но вызывающих противоречие при решении. Эффект от введения этих задач не стоит недооценивать, их цель в системе задач – вызов ситуации, при которой задача не имеет решения при вроде бы существующем на самом деле математическом (записываемом посредством математического языка) решении.
В дальнейшем уже можно прибегать к такому варьированию условий задачи, которое требует видоизменения самого типового приёма. Такого рода варьирование способствует выработке более сложных умений, значение которых для формирования самостоятельного мышления учащихся очень велико. Речь идёт в этих случаях о выработке умений перестраивать известные способы решения в соответствии с изменением условий задачи. Успех этой перестройки непосредственно зависит от того, в какой мере учащиеся умеют анализировать задачи, улавливая одновременно и сходное и различное." [19, с. ]
И, наконец, последнее видоизменение условия задачи – составлять условие таким образом, чтобы некоторых данных в них не хватало. С учётом предыдущего опыта учеников по решению задач, этот тип задач, во–первых, будет для них несколько сложным и новым, во–вторых, решая задачи такого типа, ученики более наглядно осознают скрытые свойства объекта задачи, уясняют более детально динамические соотношения между понятиями и определениями, применяемыми при решении данной задачи.
IV. Расширенная система задач по теме «Сумма углов треугольника»
В соответствии с вышесказанным предлагается к рассмотрению система задач по теме "Сумма углов треугольника" (геометрия, 7 класс). Тема эта не громоздкая, достаточно чёткая и богато насыщенная различного рода задачными ситуациями.
Для составления требуемой системы задач было выделено 5 основных аспектов данной темы:
непосредственное использование указанного свойства углов в произвольном треугольнике;
то же – для равнобедренного треугольника;
то же – для прямоугольного треугольника;
то же – для углов, образованных внутри треугольника медианами, биссектрисами, высотами и др.;