Разработка электронного учебника по математике для студентов I курса, отделения "информатика - иностранный язык" (стр. 10 из 15)
1)1 ÎМ;
2) "аÎМ множеству М принадлежит и следующий за а элемент а1 то множество М совпадает с множеством натуральных чисел.
Итак, множествоN={ 1, 2, 3, 4,...}.
На аксиоме 4 основан метод математической индукции. Доказательство различных утверждений этим методом проводится от частного к общему, а затем делается вывод о справедливости данного утверждения.
П р и м е р. Доказать методом математической индукции следующее равенство:
Д о к а з а т е л ь с т в о.
1. Проверим справедливость данного утверждения для n = 1:
,т.е.1=1.  | Проверка при n=1 ОБЪЯЗАТЕЛЬНА! |
2. Предположим, что данное равенство выполняется дляk слагаемых, т.е. приn=k:
3. На основании предположения 2 докажем справедливость данного равенства для n=k+1:
Ho
, а потому 
, а так как 
, следовательно 
Теперь можно сделать вывод о том, что данное равенство справедливо "nÎN.
2. Множество целых чисел
Во множестве натуральных чисел выполняются операции сложения и умножения, но не всегда выполняется операция вычитания. Расширяя множество N так, чтобы эта операция была выполнима, мы получаем множество целых чиселZ.
| | Расширяя – определяя новую алгебраическую операцию. |
ПоэтомуZ=NÈ{0, -1, -2,...} илиZ={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}, т.е. множество целых чиселZсодержит множество натуральных чисел, число нуль и числа, противоположные натуральным.
Основную роль во всей теории целых чисел играют следующие факты.
Теорема о делении с остатком. Для любого целого а и b > 0 существуют и притом единственные целые q и r, такие, что а = bq + r, 0 £ r < | b |.
Определение. Натуральное число р называется простым, если р > 1 и р не имеет положительных делителей, отличных от 1 и р.
Основная теорема арифметики. Для каждого натурального числа n > 1 существует единственное разложениена простые множители: 
, где p1, p2, ..., pk– простые числа, а 
- натуральные числа. Разложение называется каноническим.
| | Единственность разложения понимается с точностью до порядка следования сомножителей. Например  .Если сказано, что простые числа расположены в порядке возрастания, то данная оговорка не нужна. |
Определение. 1) Общим делителем целых чисел а1, а2, ..., аn называется целое число d, такое, что a1 : d,а2: d, ...,аn : d. 2)Наибольшим общим делителем целых чисел а1, а2, ..., аn называется такой положительный общий делитель чисел а1, а2, ..., аn, который делится на любой другой общий делитель этих чисел.
| | Наибольший общий делитель – это наибольший из их общих делителей. |
Обозначается:d = (а1, а2, ..., аn).
Наибольший общий делитель целых чисел а и b может быть найден с помощью алгоритма Евклида, в основе которого лежит теорема о делении с остатком. Последний, отличный от нуля, остаток и будет наибольшим общим делителем чисел а и b.
Пример. Найти НОД чисел 1173 и 323. Последовательным делением находим:
1173 = 323´3 + 204;
323=204´1+119;
204=119´1+85;
119=85´1+34;
85=34´2+17;
34=17´2;
так что (1173, 323) = 17.
Определение. Наименьшим общим кратным целых чисел а1, а2, ..., аn, отличных от нуля, называется наименьшее положительное число, кратное всем этим числам.
| | Наименьшее общее кратное – это наименьшее из их общих кратных. |
Обозначают: m=[ а1, а2, ..., аn].
Пусть а иb целые числа, тогда
Пример. Найти HOK чисел 1173 и 323.
Т.к. (1173, 323) = 17, то [1173, 323] =
3. Множество рациональных чисел. Система действительных чисел
Во множестве целых чисел выполняются операции сложения, вычитания и умножения, но не всегда выполняется операция деления. Расширяя множествоZ так, чтобы эта операция была выполнима, получаем новое числовое множество - множество рациональныхчиселQ, т.е.Q={r | r= 
, m, n ÎZ, n¹0}. Множество рациональных чисел можно еще определить как множество бесконечных периодических десятичных дробей.
| | Десятичная дробь  называется периодической, если начиная с некоторого k одна или несколько цифр (группа цифр) повторяются. |
Если же число нельзя представить в виде отношения двух целых чисел, то его называют иррациональным числом.
К необходимости введения понятия иррационального числа приводит рассмотрение многих задач, в частности - задачи измерениянекоторых отрезков (например, длины диагонали квадрата со стороной, равной единице). Иррациональное число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью. Например, рациональные числа
и 
представляются следующими десятичными дробями: = 0,75; = 0,333 ... = 0,(3).Иррациональные числа
иp представляются непериодическими бесконечными дробями: = 1,414...;p = 3,14159.... | | Непериодическими бесконечными дробями также являются:0,101001000100001...,  и другие. |
Множество, состоящее из всех рациональных и всех иррациональных чисел, называется множеством действительных чиселR. Геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой. Отметим, что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой установлено взаимно однозначное соответствие.
| | Имеется в виду что каждой точке на прямой соответствует число из множества R, и наоборот, каждому числу из множества R соответствует точка на прямой. |
4. Система комплексных чисел
Однако действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Например, уравнение вида х2 + 1= 0 действительных корней не имеет. А это означает, что система действительных чисел нуждается в расширении.