Разработка электронного учебника по математике для студентов I курса, отделения "информатика - иностранный язык" (стр. 11 из 15)
Определение. Множество чисел вида а + bi, а, bÎR, i2 = -1, называется системой комплексных чисел С.
 | Подчеркнем, что в отличие от множества действительных чисел (R), множество комплексных чисел (С) с операциями определенными на нем не обладает свойством упорядоченности, так как имеется элемент  , в частности, нельзя определить понятие быть положительным. |
а - действительная часть комплексного числа, bi - мнимая частькомплексного числа,i =
- мнимая единица, b - коэффициент при мнимой единице. Запись числа в видеz = а + bi называется алгебраической. Комплексное число z = а + bi равно нулю тогда и только тогда, когда а = 0 иb = 0. Два комплексных числа z1 = а1 + b1i и z2=а2+b2i называются равными, если а1=a2, и b1 = b2, в этом случае пишут:z1 = z2.Число 
= а - bi называется сопряженным для числа z = а + bi, при этом числа z и называются взаимно сопряженными. Например, числа z = 2 + i иz = 2 - i; z= -5 -iиz = -5 +i, z = i иz = -iбудут взаимно сопряженными.
Арифметические действия над комплексными числами проводятся по следующим правилам. Пустьz1= а1+b1i z2= а2+b2i. Тогда:
; 
; 
. Таким образом, видим, что если z= a+biи =a-bi, то z = a2+b2.Примеры. Выполнить действия:
1. (2 + 3i) + (8 - 5i) = 10 - 2i.
2. (-1-i) -(2+3i) =-3-4i.
3. (10 - i)(2 + i) = 21+8i.
4.
.Геометрически комплексные числа можно изображать точками плоскости, абсциссами которых служат действительные части, а ординатами - коэффициенты при мнимой единице. Таким образом, если z= a+bi, то на плоскости ХОУэто будет точка М(а, b). Так как любой вектор плоскости с началом в точке O(0,0) определяется координатами конца, то комплексные числа также изображают радиус – векторами (рис. 1).
Рис. 1
Кроме алгебраической формы комплексное число может быть записано с помощью тригонометрической формы. Введем следующие определения.
Определение. Модулем комплексного числа z=а+ bi называется арифметический квадратный корень из суммы квадратов его действительной части и коэффициента примнимой единице: |z| = r = 
.
Определение. Аргументом комплексного числа z = а + bi называется число 
, для которого 
.
Возьмем на плоскости точку М(а, b), пусть ей соответствует комплексное числоz = а+ bi. Обозначим через j угол, который образует радиус – вектор ОМ с положительным направлением оси ОХ.
Из DОМА (рис.2) AO =OMcosj,AM =ОМsinj, ноОМ=
=г, ОА =а;AM =b; тогдаz = а + bi = rcosj+ irsinj = r(cosj + isinj).Запись числаz =r(cosj + isinj) называется тригонометрической формой комплексного числа.
С геометрической точки зрения, модуль комплексного числа представляет собой длину радиус-вектора, который это число изображает, а аргумент - это угол, который образует данный радиус-вектор с положительным направлением оси ОХ.
Пример. Найти модуль, аргумент и записать число z = 1- i в тригонометрической форме.
Имеемr =
= 
; cosj = 
; sinj = 
; тогдаj = 
и 
.Используя тригонометрическую форму комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел можно выполнять так: если
, 
, то z1z2 = r1r2[cos (j1+j2) + isin (j1+j2)], 
.Операции же возведения в целую степень и извлечения корня удобнее проводить в тригонометрической форме. Так, для возведения в целую степень n комплексного числаz = r(cosj + isinj) известна формула Муавра:
zn = rn(cosnj + isinnj).
| | Отметим, что возведение комплексных чисел в натуральную степень можно выполнять и в алгебраической форме, просто перемножая число само на себя или воспользовавшись биномом Ньютона. |
Пример. Найти(2+2i)5.
Еслиz = 2 +2i, то r =
, cosj = , sinj = , j = 
. Тогда 
, а 
.Для извлечения корня степени nÎN из комплексного числа z = =r(cosj+ isinj ) используется следующая формула:
, k = 0, 1, 2, ..., n-1.Пр им e p. Найти
. Найдем тригонометрическую форму подкоренного выражения: 
; 
; 
; 
; 
. 
, k = 0, 1, 2, 3. 
; 
; 
; 
.Контрольные вопросы
После ознакомления с теоретическим материалом студентам предлагается ответить на несколько вопросов по данной теме. Это делается с целью закрепления нового материала и контроля его усвояемости. Форма ввода ответа на вопросы предполагает использование как классической кроудеровской системы, так и возможность ввода конструированного ответа, когда студент конструирует свой ответ из предложенных фрагментов. Система вопросов подбиралась с учетом следующих требований:
– широкий охват нового теоретического материала;
– разноплановость в смысле возможных вариантов ответов;
– отсутствие вопросов предполагающих ответы типа «да» – «нет» и ответов требующих пояснения.
Блок ответов на контрольные вопросы устроен таким образом, что дав ответ на первый вопрос, студенты могут перейти к последнему, затем вернуться назад и исправить первый ответ. Ответ, данный на вопрос, не исчезает, он остается доступным для редактирования и по прошествию некоторого времени. Во время ответа на вопросы доступ к теоретическому материалу не возможен. После получения ответов на все вопросы студентам предлагается закрыть сеанс ответов на вопросы и перейти к решению практических заданий. После этого момента вернуться к вопросам и что-либо исправить уже нельзя. По окончанию сеанса работы с учебником система проанализирует полученные ответы на предмет их правильности и полноты и выставит оценку по пятибальной шкале.