Абстрактно-дедуктивный метод введения и формирования математических понятий в 10-11 классах (стр. 3 из 4)

Наконец, часто функцию задают с помощью графика. Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции. Приведем примеры.

На рисунке 3 изображены вольтамперные характеристики некоторых электрических элементов, т.е. графически заданные зависимости напряжения от силы тока. Они получены не по готовой формуле, а экспериментально.

На рисунке 4 изображена кардиограмма работы человеческого сердца. Ее можно считать графиком изменения электрического потенциала на волокнах сердечной мышцы во время сердечного цикла.

Рассмотрим функцию y = f(x), график которой изображен на схеме II. Что можно сказать о свойствах функции f, глядя на график?

1) Спроектируем точки графика на ось х. Мы получим отрезок [а; б]. Этот промежуток является областью определения функции. Действительно, каждая прямая, параллельная оси у, проходящая через точку этого отрезка, пересекает график ровно в одной точке; вертикальные прямые, проходящие через точки х вне отрезка [а; б], график не пересекают.

2) Рассмотрим точки пересечения графика с осью х. На чертеже это х₁, х₂, х₃, х₄. В этих точках функция обращается в нуль. Числа х₁, х₂, х₃, х₄.являются решениями уравнения f(x) = 0 и называются корнями функции (или ее нулями).

3) Корни функции f разбивают область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак. Функция положительна на промежутках [а;х₁), (х₁;х₂), (х₄;b] и отрицательна на промежутках (х₁;х₂), (х₃;х₄).

Объединение промежутков представляет [а;х₁), (х₂;х₃), и (х₄;b] собой решение неравенства f (х) > 0, а объединение промежутков (х₁; х₂) и (х₃;х₄).— решение неравенства f(x)<0.

4) График функции можно сравнить с профилем дороги, которая то поднимается в гору, то опускается в ложбину. Самые верхние и самые нижние точки этой дороги («вершины») играют важную роль при описании графика. Они соответствуют значениям аргумента, обозначенным на графике т₁, т₂, т₃.

Производная и ее применение

Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость — это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д.

При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке х₀ со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х₀, удобно выражать разность f (х) — f (х₀) через разность х — х₀, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции». Объясним их смысл.

Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х₀. Разность х — х₀ называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х₀ и обозначается ∆х;. Таким образом,

∆х=х-х₀,

откуда следует, что х=х₀+∆х

Говорят также, что Первоначальное значение аргумента х₀ получило приращение ∆х. Вследствие этого значение функции f изменится на величину

f(x) – f(x₀) = f(x₀+∆х) – f(x₀)

Эта разность называется приращением функцииf в точке х₀, соответствующим приращению ∆х, и обозначается символом ∆f (читается «дельта эф»), т. е. по определению

∆f = f(x₀+∆х) – f(x₀)

откуда

f(x) = f(x₀+∆х) = f(x₀) ∆f

Обратите внимание: при фиксированном x₀ приращение ∆f есть функция от ∆х.

∆f называют также приращением зависимой переменной и обозначают через ∆у для функции y = f(x).

Пример: Дан куб с ребром а. Выразим погрешность ∆V, допущенную при вычислении объема этого куба, если погрешность при измерении длины ребра равна ∆х. По определению приращения х = a + ∆x, тогда

Рассмотрим график функции y = f(x). Геометрический смысл приращений ∆х и ∆f (приращение ∆f обозначают также ∆у) можно понять, рассмотрев рисунок 80.

Прямую l, проходящую через любые две точки графика функции l, называют секущей к графику f. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (х₀; y0) и (х; у), равен

.

Его удобно выразить через приращения ∆х и ∆у.

(Напомним, что угловой коэффициент прямой y = kx+b равен тангенсу угла а, который эта прямая образует с осью абсцисс.)

С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t₀;t₀+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата х(t), то

Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t₀ + ∆t; t₀]). В самом деле, в этом случае перемещение точки равно х (t₀) — x(t₀ + ∆x); длительность промежутка времени равна —∆t, и, следовательно,

Аналогично выражение

называют средней скоростью изменения функции на промежутке с концами x₀ и x₀+∆х.

Первообразная и интеграл

Вспомним пример из механики. Если в начальный момент времени t = 0 скорость тела равна 0, т. е. u(0) = 0, то при свободном падении тело к моменту времени t пройдет путь

(1)

Формула (1) была найдена Галилеем экспериментально. Дифференцированием находим скорость:

(2)

Второе дифференцирование дает ускорение:

т. е. ускорение постоянно.

Более типично для механики иное положение: известно ускорение точки a(t) (в нашем случае оно постоянно), требуется найти закон изменения скорости u (t), а также найти координату s (t). Иными словами, по заданной производной u′(t), равной a (t), надо найти u (t), а затем по производной s′(t), равной u (t), найти s (t).

Для решения таких задач служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования.

Определение. Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка

F'(x)=f(x).

Показательная и логарифмическая функции

1. Определение корня. С понятием квадратного корня из числа, а вы уже знакомы: это такое число, квадрат которого равен а. Аналогично определяется корень п-й степени из числа а, где п — произвольное натуральное число.

Определение. Корнем п-й степени из числа а называется такое число, п-я степень которого равна а.

Пример 1. Корень третьей степени из числа 27 равен 3, так как З³ = 27. Числа 2 и - 2 являются корнями шестой степени из числа 64, поскольку 2⁶ = 64 и (- 2)⁶ = 64.

Согласно данному определению корень п-я степени из числа а — это решение уравнения х^п = а. Число корней этого уравнения зависит от п и а. Рассмотрим функцию f (х) = х^п. Как известно, на промежутке [0; ∞) эта функция при любом п возрастает и принимает все значения из промежутка [0; ∞). По теореме о корне уравнение х^п = а для любого а

[0; оо) имеет неотрицательный корень и притом только один. Его называют арифметическим корнем п-й степени из числа anобозначают ; число п называется показателем корня, а само число а — подкоренным выражением. Знак корня √ называют также радикалом.

Определение. Арифметическим корнем п-й степени из числа а называют неотрицательное число, п-я степень которого равна а.

При четных п функция f(x) = xⁿчетна. Отсюда следует, что если а>0, то уравнение х^п = а, кроме корня х₁ =

, имеет также корень х₂ = - ,. Если а = 0, то корень один: х = 0; если а<0, то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицательна.

Итак, при четном п существуют два корня п-й степени из любого положительного числа а; корень п-й степени из числа 0 равен нулю; корней -четной степени из отрицательных чисел не существует.