Управление портфелем краткосрочных государственных ценных бумаг (стр. 12 из 19)
Справедливы также следующие два свойства ковариаций доходностей портфелей активов[18]:
4.Ковариация доходностей Ra, Rc двух эффективных портфелей А и С с ожидаемыми доходностями
и 
равна: 
(47)6. Ковариация доходности глобального эффективного портфеля Rg с доходностью любого другого портфеля или актива Ra равна:
Cov(Ra,Rg)=
Множество всех эффективных портфелей с характеристиками
в системе координат "доходность — риск" описывается кривой, известной как фронт эффективных портфелей (efficientfrontier), ограничивающей множество всех портфелей, достижимых на множестве из N ценных бумаг с характеристиками 
(feasibleset).На рис 5 фронту эффективных портфелей соответствует отрезок кривой от точки G (включая "глобальный" портфель G) до точки А и выше. Портфели, лежащие на отрезке кривой от точки G до точки В и ниже, не являются эффективными. Портфели, лежащие в заштрихованной области, ограниченной кривой (включая саму кривую), образуют множество достижимых портфелей (feasibleset).
Таким образом, в результате решения задачи Марковица инвестор получает не один, а бесконечное множество эффективных портфелей. Индивидуальные предпочтения инвестора при выборе единственного оптимального в смысле подхода "доходность — риск" портфеля могут быть учтены с использованием кривых безразличия данного инвестора. Проиллюстрируем этот выбор на примере.
Пусть приемлемые для инвестора портфели, соответствующие различным уровням его притязаний, описываются кривыми безразличия
(рис. 6). 
Рис. 6. Выбор оптимального портфеля с учетом предпочтений инвестора, задаваемых кривыми безразличия
Фронту эффективных портфелей соответствует кривая G-A. Очевидно, портфели, принадлежащие кривой безразличия
, недостижимы. Среди достижимых и приемлемых для инвестора портфелей эффективными являются портфели А, С и D. Но более эффективным среди них является портфель С, поскольку он лежит на кривой безразличия 
что выше и левее кривой 
.Таким образом, оптимальным для конкретного инвестора является портфель С, соответствующий точке касания фронта эффективных портфелей и кривой безразличия данного инвестора.
Подход Г. Марковица, ядром которого является идея диверсификации вложений, можно рассматривать как теорию портфельного инвестирования в ее микроэкономическом аспекте, поскольку основным объектом исследования в рамках данной теории является портфель инвестора, формируемый им на основе индивидуальных представлений относительно ожидаемой доходности и риска ценных бумаг.
3.2 Формирование портфеля государственных облигаций
Рассмотрим формирование портфеля государственных облигаций различного выпуска. Анализ будет проводиться на основании данных по торгам, приведенным в приложении 1.
Для формирования портфеля будут рассматриваться облигации следующих кодов:
25058
46001
27026
25060
25057
25061
46003
25059
26199
46017
46021
Для проведения анализа облигаций необходимо рассчитать их доходность и риск. Доходность определяется по средней арифметической, риск определяется как среднеквадратическое отклонение.
Подробный расчет представлен приложении 2.
Результаты приведены в таблице 3.
Таблица 3
Основные характеристики государственных облигаций
| Код выпуска | Доходность | Риск |
| 25058 | 5,5003 | 0,3757 |
| 46001 | 5,5828 | 0,2011 |
| 27026 | 5,9652 | 0,3864 |
| 25060 | 6,0268 | 0,0507 |
| 25057 | 6,1296 | 0,0670 |
| 25061 | 6,1585 | 0,0691 |
| 46003 | 6,0361 | 0,1883 |
| 25059 | 6,2690 | 0,1046 |
| 26199 | 6,4276 | 0,0647 |
| 46017 | 6,5373 | 0,1012 |
| 46021 | 6,6015 | 0,1249 |
Также для формирования портфеля нам необходимо ковариационная матрица доходностей. Она приведена в таблице 4.
Таблица 4
Ковариационная матрица доходностей
| 25058 | 46001 | 27026 | 25060 | 25057 | 25061 | 46003 | 25059 | 26199 | 46017 | 46021 | |
| 25058 | 0,1520 | 0,0058 | 0,0149 | -0,0024 | -0,0048 | 0,0051 | -0,0040 | -0,0054 | 0,0088 | 0,0062 | 0,0115 |
| 46001 | 0,0058 | 0,0351 | -0,0093 | 0,0053 | 0,0056 | 0,0036 | 0,0080 | -0,0097 | 0,0053 | 0,0059 | -0,0049 |
| 27026 | 0,0149 | -0,0093 | 0,1726 | 0,0061 | 0,0083 | 0,0058 | -0,0009 | 0,0005 | 0,0047 | 0,0092 | -0,0052 |
| 25060 | -0,0024 | 0,0053 | 0,0061 | 0,0065 | 0,0020 | 0,0018 | 0,0025 | -0,0031 | 0,0015 | 0,0018 | -0,0004 |
| 25057 | -0,0048 | 0,0056 | 0,0083 | 0,0020 | 0,0047 | 0,0016 | 0,0003 | -0,0019 | 0,0015 | 0,0013 | -0,0024 |
| 25061 | 0,0051 | 0,0036 | 0,0058 | 0,0018 | 0,0016 | 0,0047 | -0,0008 | -0,0027 | 0,0024 | 0,0017 | 0,0001 |
| 46003 | -0,0040 | 0,0080 | -0,0009 | 0,0025 | 0,0003 | -0,0008 | 0,0297 | -0,0077 | -0,0016 | -0,0004 | -0,0052 |
| 25059 | -0,0054 | -0,0097 | 0,0005 | -0,0031 | -0,0019 | -0,0027 | -0,0077 | 0,0152 | -0,0028 | -0,0024 | 0,0027 |
| 26199 | 0,0088 | 0,0053 | 0,0047 | 0,0015 | 0,0015 | 0,0024 | -0,0016 | -0,0028 | 0,0055 | 0,0035 | 0,0021 |
| 46017 | 0,0062 | 0,0059 | 0,0092 | 0,0018 | 0,0013 | 0,0017 | -0,0004 | -0,0024 | 0,0035 | 0,0088 | 0,0029 |
| 46021 | 0,0115 | -0,0049 | -0,0052 | -0,0004 | -0,0024 | 0,0001 | -0,0052 | 0,0027 | 0,0021 | 0,0029 | 0,0138 |
Теперь, используя вышеприведенные формулы, проведем расчет оптимального портфеля ценных бумаг.
Значения исходных показателей:
Далее проводим расчет показателей
Далее, для определения структуры портфеля, необходимо задаться общей доходностью портфеля.
В нашем портфеле доходность бумаг колеблется от 5,5 до 6,6. Возьмете это диапазон с шагом 0,1 и рассчитаем структуру портфеля для каждого варианта. Результаты расчет представлены в таблице 5.
В таблице показаны доли каждой бумаги в портфеле при заданной доходности. Там, где показатель меньше нуля, рекомендуется «короткая продажа».
Так как портфель характеризуется не только доходностью, но и риском, то также необходимо рассчитать риск для каждого представленного портфеля.
Расчет дисперсии портфеля при доходности 5,5% представлен ниже. Он равен 0,9%.
По остальным портфелям расчет аналогичен.
Результаты представлены в таблице 6.
Таблица 5
Структура портфеля в зависимости от доходности
| Доходность Код выпуска | 5,5 | 5,6 | 5,7 | 5,8 | 5,9 | 6 | 6,1 | 6,2 | 6,3 | 6,4 | 6,5 | 6,6 |
| 25058 | 0,118 | 0,103 | 0,089 | 0,075 | 0,061 | 0,046 | 0,032 | 0,018 | 0,003 | -0,011 | -0,025 | -0,039 |
| 46001 | 0,327 | 0,278 | 0,228 | 0,178 | 0,129 | 0,079 | 0,029 | -0,021 | -0,070 | -0,120 | -0,170 | -0,220 |
| 27026 | 0,029 | 0,022 | 0,015 | 0,007 | 0,000 | -0,007 | -0,014 | -0,021 | -0,028 | -0,035 | -0,042 | -0,049 |
| 25060 | 0,496 | 0,442 | 0,388 | 0,334 | 0,280 | 0,226 | 0,172 | 0,118 | 0,064 | 0,010 | -0,044 | -0,097 |
| 25057 | 0,293 | 0,288 | 0,284 | 0,279 | 0,274 | 0,269 | 0,265 | 0,260 | 0,255 | 0,251 | 0,246 | 0,241 |
| 25061 | 0,428 | 0,394 | 0,360 | 0,326 | 0,292 | 0,258 | 0,224 | 0,190 | 0,157 | 0,123 | 0,089 | 0,055 |
| 46003 | 0,060 | 0,066 | 0,073 | 0,079 | 0,085 | 0,091 | 0,097 | 0,103 | 0,109 | 0,115 | 0,121 | 0,127 |
| 25059 | 0,344 | 0,325 | 0,305 | 0,286 | 0,266 | 0,247 | 0,227 | 0,208 | 0,188 | 0,169 | 0,149 | 0,130 |
| 26199 | -0,635 | -0,534 | -0,433 | -0,332 | -0,231 | -0,130 | -0,029 | 0,072 | 0,173 | 0,274 | 0,375 | 0,476 |
| 46017 | -0,484 | -0,411 | -0,338 | -0,265 | -0,193 | -0,120 | -0,047 | 0,026 | 0,098 | 0,171 | 0,244 | 0,316 |
| 46021 | 0,023 | 0,027 | 0,030 | 0,033 | 0,037 | 0,040 | 0,044 | 0,047 | 0,050 | 0,054 | 0,057 | 0,061 |
Дисперсия портфеля при доходности 5,5%
Таблица 6
Характеристики портфелей
| Доходность, % | Риск, % |
| 5,5 | 0,9 |
| 5,6 | 0,73 |
| 5,7 | 0,55 |
| 5,8 | 0,40 |
| 5,9 | 0,28 |
| 6 | 0,19 |
| 6,1 | 0,13 |
| 6,2 | 0,10 |
| 6,3 | 0,13 |
| 6,4 | 0,19 |
| 6,5 | 0,28 |
| 6,6 | 0,73 |
Постоим график зависимости риска и доходности портфелей.