Управление портфелем краткосрочных государственных ценных бумаг (стр. 5 из 19)

На основании (7) можно сделать следующие выводы:

• рыночная цена купонной облигации прямо пропорциональна ставке купонного дохода q, причем P>F0 для q>0;

• существует обратная зависимость между рыночной ценой облигации (ценой покупки) и ее доходностью R*.

Для купонных облигаций с несколькими выплатами купонного дохода в течение одного периода владения (т.е. при

>1) может быть проведен аналогичный анализ, если предварительно принять:

- номинальная ставка начисления процентов за один период владения в предположении, что ;

R/m - ставка начисления процентов за один период выплат купонного дохода;

q/m - ставка купонного дохода за один период выплат.

По аналогии с предыдущим случаем можно получить следующую формулу для текущей стоимости облигации:

(8)

Данная формула аналогичным образом может быть приведена к виду (6).

Анализ бессрочных облигаций

Применим описанный метод для анализа бессрочных облигаций.

Предположим, что

и , т.е. период выплат купонного дохода совпадает с периодом владения облигацией, а ее погашение не ожидается в обозримом будущем. При текущей стоимостью финальной выплаты в формуле (2) можно пренебречь, поскольку по свойству предела

(9)

что влечет

при . Таким образом, для бессрочной облигации

(10)

Так как

, то по свойству суммы бесконечной геометрической прогрессии имеем

(11)

На основании (11) из (10) следует:

(12)

Из (12) следует, что текущая стоимость облигации прямо пропорциональна величине выплачиваемого по ней купонного дохода и обратно пропорциональна ожидаемой доходности вложений.

Если Р - рыночная цена покупки облигации, то с учетом (12) ставка R* внутренней доходности облигации, определяемая из условия NPV= V-P=0, равна:

(13)

Обычно ставка доходности, определяемая как отношение купонного дохода к рыночной цене (цене покупки) облигации, называется текущей доходностью (currentyield) облигации. Таким образом, в случае бессрочных облигаций полная доходность, определяемая ставкой R*, совпадает с текущей доходностью облигации.

Анализ бескупонных облигаций

В предположении q=0 и

из формулы (2) следует, что текущая стоимость бескупонной Т-периодной облигации совпадает с текущей ценой финальной выплаты, т.е.

(14)

Из (14) и условия

следует, что внутренняя доходность облигации R* удовлетворяет тождеству

(15)

и определяется по формуле

(16)

Ставка R* определяет полную доходность, или доходность к погашению, бескупонной Т-периодной облигации, так как разность между ценой покупки облигации и ее номинальной стоимостью, выплачиваемой при погашении облигации, является единственным источником дохода владельца данной облигации.

Анализ облигаций при наличии временной структуры процентных ставок

Для оценки текущей стоимости облигаций с помощью метода дисконтирования платежей требуется знание ставок дисконтирования для всех будущих периодов владения облигацией. В связи с этим возникает два вопроса[6]:

• можно ли использовать одну и ту же ставку дисконтирования платежей, ожидаемых в различные периоды владения?

• какие ставки используются в качестве ставок дисконтирования ожидаемых платежей при оценке купонных облигаций?

Из практики известно, что ставки доходностей для активов с различными сроками до погашения различаются по величине и находятся в постоянном движении. В каждый момент времени на финансовом рынке имеет место некоторая совокупность процентных ставок (даже для активов с сопоставимой степенью риска), относящихся к активам с различными сроками до погашения. Эта совокупность называется временной структурой процентных ставок. Поэтому ответ на первый вопрос очевиден: каждому будущему периоду должна соответствовать своя ставка дисконтирования, что противоречит ранее сделанному упрощающему предположению о постоянстве ставок дисконтирования.

Ответ на второй вопрос требует более подробных пояснений. Очевидно, ставки дисконтирования платежей, необходимые для оценки стоимости облигаций в текущий момент времени, должны зависеть от временной структуры процентных ставок, сложившейся на финансовом рынке в анализируемый момент времени. Дадим формальное определение понятия "временная структура процентных ставок" и укажем способ определения искомых ставок дисконтирования.

1) Спот-ставки и временная структура процентных ставок.

Для описания временной структуры процентных ставок используются так называемые спот-ставки.

Спот-ставками (spotrates) будем называть соответствующие текущему моменту времени ставки доходности к погашению бескупонных облигаций с различными сроками погашения.

Обозначим:

- ставка доходности к погашению бескупонной облигации с погашением в конце периода t (t-периодной облигации), при этом индекс "0" указывает на то, что ставка относится к текущему периоду, для которого t=0.

Спот-ставки

определяют внутреннюю доходность соответствующих бескупонных облигаций и поэтому удовлетворяют тождествам типа (15). Таким образом:

а) в случае дискретного дисконтирования

(17)

б) в случае непрерывного дисконтирования

(18)

где

- номинальная стоимость t-периодной бескупонной облигации; - текущая рыночная стоимость t-периодной бескупонной облигации (цена покупки); - спот-ставка в случае непрерывно начисляемых процентов[7].

На практике бескупонные облигации, как правило, краткосрочные ценные бумаги, т.е. «реальные» бескупонные облигации со сроком обращения свыше одного года, могут отсутствовать на финансовом рынке. Однако активы, подобные бескупонным облигациям с различными сроками обращения, могут быть получены на основе купонных облигаций. Действительно, купонную Т-периодную облигацию можно рассматривать как портфель, состоящий из Т+1 бескупонной облигации, если предположить, что каждый из Т купонов и финальная выплата являются самостоятельными облигациями.

В качестве спот-ставок

на практике используют доходности к погашению бескупонных государственных облигаций или соответствующих им активов в виде платежей по купонным государственным облигациям.

Данные активы имеют фиксированные сроки обращения и цены погашения. Они не предусматривают промежуточных выплат и, как правило, свободны от риска невыполнения обязательств со стороны эмитента. Поэтому можно считать, что они имеют фиксированную доходность, не подверженную риску невыполнения обязательств (defaultrisk), а также риску изменения процентных ставок (interestraterisk) при совпадении срока инвестирования и срока обращения облигации. В этом смысле бескупонные облигации можно считать безрисковыми активами, что делает их привлекательными для инвесторов. В США рынок подобных активов функционирует в рамках программы STRIPS (SeparateTradingofRegisteredInterestandPrincipalSecurities), разработанной Казначейством США.

Практика показывает, что ставки доходности к погашению (YieldToMaturity - YTM) зависят от срока, оставшегося до погашения облигаций. Подобную зависимость принято называть временной структурой процентных ставок (termstructureofinterestrate).

Для описания временной структуры процентных ставок на финансовом рынке используется последовательность спот-ставок

где Т- некоторый фиксированный максимальный срок обращения долговых ценных бумаг.

Наличие временной структуры процентных ставок приводит к тому, что краткосрочные, среднесрочные и долгосрочные спот-ставки различаются по величине, т.е. имеет место условие: