Прикладной системный анализ: сетевой анализ и календарное планирование проектов, метод прогнозного графа (стр. 16 из 18)

Pэj (S_ir) =P(S_i1 Λ S_i2 Λ … Λ S_inj)=p_i1 · p_i2 ·… ·p_inj ,

где p_i1 , p_i2 ,… ,p_inj — абсолютные вероятности свершения отдельных условий, выдвинутых экспертом j;

n_ij — количество условий, выдвинутых j-м экспертом; Pэj (S_ir) — вероятность выполнения ijпредпосылки.

2. Pэj (S_ir) — вероятность свершения события S_iанализируемого экспертом jпри предпосылке ij;

pij— условная вероятность, выставленная Эjэкспертом:

pэj (S_i)= pэj (S_ir) pij .

3. Для всех пар экспертов определяются условные вероятности:

где p(Эp/Эl) вычисляется по общим формулам теории вероятностей. Например:

Si=(Э₁ (S₂ , S₃ , S₄) , Э₂ (S₃ , S₄, S₅) ) ;

p (Э₁ ΛЭ₂) =p ( (S₂ Λ S₃ Λ S₄) Λ (S₃ Λ S₄ Λ S₅) ) = p(S₂Λ S₃ Λ S₄Λ S₅) =

= p₂ ·p₃ ·p₄ ·p₅;

Если для какой-либо пары экспертов p(Э_р / Э_l) или р(Э_l/Э_р) ≥0,5, то производится усреднение вероятностей по формуле:

V _{рÚ l} = min(V_р, V_l)

(p, l = 1, 2, … ,k).

После этого присваивается

p(Э_p), еслиp(Эp/Эl)£ р(Э_l/Э_р) ;

p(Э_рÚ Э_l) =

p(Э_l) в противном случае.

Заметим , что усреднение начинается с тех пар экспертов , которые имеют максимальное значение условных взаимных вероятностей (среди равнозначных порядок безразличен).

Значение p _{Э р}V_{Э l}и V_pV_l рассматривается как данные нового эксперта (вероятность и вес эксперта). Оценка p(Э_рÚ Э_l) служит для переноса ранее полученных значений условных вероятностей на нового эксперта. Оба первичных эксперта из процедуры исключаются. Если после проведения всех усреднений остается один эксперт, то значение p _{Э р}V_{Э l} , полученное после усреднения последней пары, присваивается p(S_i). Если остается более одного эксперта, то оценка p(S_i) вычисляется по формуле

r

p(S_i) = 1-П (1- p_ρ),

ρ=1

где r- число оставшихся экспертов;

p_ρ- вероятности оставшихся экспертов (ρ = 1, 2, . . . ,r), что в предыдущих обозначениях соответствует р_Эру Э_l(не надо путать ее с оценкой p(Э_pv Э_l);

p(S_i)- вероятность свершения события S_i, анализируемого экспертами j (j=1, 2, . . . ,k_i).

На практике при проведении экспертизы по методу прогнозного графа оказалось, что экспертам довольно трудно осуществить оценку вероятности, поэтому было признано целесообразным перейти к одной оценке — по времени, сделав оценку производной от него.

Для каждой цели S_i(i=l,2,...,т+п) находится экспериментальный закон распределения вероятности P_i(t) ее достижения не позже, чем на время t(считая от настоящего момента).

С этой целью должна быть решена система уравнений

где p_i(t) — закон распределения вероятности достижения цели S к времени t;

p_ijr(t) — закон распределения вероятности времени достижения промежуточных целей S_ir, входящих в ijпредпосылки цели S_i;

t_ij — относительная оценка времени свершения целей при условии выполнения ijпредпосылок;

i = 1, 2,..., (m + n) (m + n — количество событий в графе);

j =1, 2, . . ., R_i(R_i — количество экспертов, участвующих в оценке цели);

r=1, 2, . .., п_j(п_j— число промежуточных целей, входящих в предпосылку ij);

δ_ij = β_ij - γ_ij— вес соответствующего предсказания;

β_ij — оценка собственной компетентности эксперта;

γ_ij — степень уверенности в прогнозе.

Суммы в числителе и знаменателе распространенына всех экспертов, принимавших участие в оценке целиS_i. Граф соподчиненности называется правильным, если из этой системы уравнений однозначным образом могут быть найдены все функции p_i(t).

Так, в частности, будет, если все цели разбиваются на непересекающиеся классы k₀, k₁,..., k_iтаким образом, что предпосылки ijдля цели S_i из некоторого класса k_r (r=0,1,...,l) могут состоять лишь из целей, принадлежащих k_p<p<_r. Для класса k₀это означает, очевидно, отсутствие каких-либо предпосылок. Зависимость p_ijr(t - t_ij) определяют исходя из абсолютных оценок вероятности свершения, которые задаются для заземленных событий (класса k₀). Данное уравнение для событий этого класса приобретает форму:

где Q(x) — функция, равная нулю при отрицательных значениях аргумента и равная единице при нулевом или положительном аргументе.

Член δ_ijQ(t - t_ij) появляется в сумме всякий раз, когда эксперт jдает оценку времени t_ijдостижения цели S_i, не сопровождая ее никакими условиями (с пустой предпосылкой ij).

Оценки времени в прогнозах обычно даются лишь целыми числами (дней, месяцев или лет). При этом функцию распределения p_i(t) удобно задавать векторами p_i(1), p_i(2),..., p_i(τ), где τ — первое значение t_ij, для которого p_i(t) достигает максимального значения (обычно это значение равно единице).

Для найденных экспериментальных распределений находятся обычные статистические характеристики: средние значения (или медианы), среднеквадратичные отклонения (или квартили). Так как распределение несимметрично, в ряде случаев необходимо рассматривать левые и правые среднеквадратичные отклонения.

Среднее значение для распределения p_i(t) вычисляется по формуле

∞

E_i= ∑ τ (p_i(τ) - p_i(τ - 1)),

τ =1

Для нахождения медианы M_iи расстояний от медианы до квартилей p_i' и q_i"предполагается, что между указанными значениями в целочисленных точках функции распределения меняются по линейному закону.

Мерой уточнения прогноза по какой-либо цели S_iможет служить абсолютная величина приращения какой-либо меры разброса распределения p_i(t) , например его среднеквадратичного отклонения σ_i. Минимальный разброс получается, если распределение p_i(t) заменить распределением p'_i(t)=Q(t — E_i), т. е. таким распределением, что p_i'(t)=0 при t<E_i и p_i'= 1 при t ≥ E.

Коэффициентом информационной значимости цели S_iслужит величина

где D_is_k — приращение, получаемое среднеквадратичным отклонением распределения p_k(t) при замене распределения p_i(t) на распределение

p'_i(t) =Q(t - E_t).

Сумма берется по всем конечным целям.

К понятию информационной значимости приближается понятие важности (по срокам) промежуточной цели. Коэффициентом важности (по срокам) цели t называют величину

где a_k — относительный вес конечных событий,

D_iE_k — приращение математического ожидания времени достижения S_k – й (конечной) цели при условии сдвига на одну единицу влево распределения p_i(t), т. е. при замене функции p_i(t) функцией p_i(t+1).

Приведенные коэффициенты имеют большое значение при переводе прогнозов в план. Планом достижения цели является любой подграф прогнозного графа, построенный следующим образом: первая вершина плана — цель S_i; далее выбирается одна из предпосылок ij; S_i1, S_i2,..., S_injи для каждой из них повторяется тот же процесс, что и для вершины S_i, пока не перестанут получаться новые вершины. Все построенные таким образом вершины (кроме S_i) называют промежуточными целями данного плана.