Моделирование и прогнозирование естественного прироста населения в РФ (стр. 2 из 4)

Для данной модели имеем:

-20801,292 - 229,292 - 10613,250 - 6961,104 - 11583,625 - 676,625 + 13547,792 + 16693,917 + 13749,417 + 4680,354 - 463,792 - 1198,000 = -3855,500

Определим корректирующий коэффициент:

k = -3855,500 / 12 = -321,292

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

Проверим условие равенства нулю суммы значений скорректированной сезонной компоненты:

-20480,000 + 92,000 - 10291,958 - 6639,813 - 11262,333 - 355,333 + 13869,083 + 17015,208 + 14070,708 + 5001,646 - 142,500 - 876,708 = 0

Таким образом получены следующие значения скорректированной сезонной компоненты (Таблица 2):

Таблица 2 - Значения скорректированной сезонной компоненты

Январь	S1	-20480,000	Июль	S7	13869,083
Февраль	S2	92,000	Август	S8	17015,208
Март	S3	-10291,958	Сентябрь	S9	14070,708
Апрель	S4	-6639,813	Октябрь	S10	5001,646
Май	S5	-11262,333	Ноябрь	S11	-142,500
Июнь	S6	-355,333	Декабрь	S12	-876,708

Занесем полученные значения для соответствующих месяцев каждого года.

Шаг 3. Элиминируем влияние скорректированной сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим: T + E = Y – S. Эти значения рассчитываются для каждого момента времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T + E) с помощью линейного тренда. Результаты выравнивания следующие:

T = -63923,013 + 1156,975 ·t; R² = 0,889

Таблица 3 - Статистика уравнения тренда

Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-63923,013	1487,618	-42,970	3,23251E-31
t	1156,975	70,114	16,501	8,46925E-18

Уравнение описывает на 88,9% вариацию исходного показателя естественного прироста, при этом уравнение является статистически значимым при уровне надежности 95%.

Подставляя в это уравнение значения t = 1,…, 36, найдем уровни T для каждого момента времени.

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих месяцев.

Шаг 6. В соответствие с методикой построения аддитивной модели расчет абсолютной ошибки производится по формуле:

E = Y – (T + S).

Исходя из значений выше приведенных показателей качества, можно сделать вывод о том, что модель обладает высокой точностью и пригодна для прогнозирования.

2.3 Мультипликативная модель временного ряда

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней временного ряда методом простой скользящей средней. Методика, применяемая для мультипликативной модели, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Расчетная таблица модели приведена в Приложении 4.

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Используем эти оценки для расчета значений скорректированной сезонной компоненты. Для этого найдем средние за каждый месяц оценки сезонной компоненты. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений скорректированной сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равно числу периодов в цикле, т.е. двенадцати, так как в нашем случае число периодов одного цикла равно 12 месяцам. В результате имеем следующие сезонные компоненты: 1,526 + 1,010 + 1,280 + 1,183 + 1,329 + 1,032 + 0,712 + 0,631 + 0,680 + 0,874 + 1,008 + 1,021 = 12,287.

Определим скорректированные значения сезонной компоненты, умножив ее на средние оценки на корректирующий коэффициент k:

Проверим условие равенства двенадцати суммы значений скорректированной сезонной компоненты:

1,491 + 0,987 + 1,250 + 1,155 + 1,298 + 1,008 + 0,695 + 0,616 + 0,664 + 0,853 + 0,985 + 0,997 = 12.

Получим следующие значения скорректированной сезонной компоненты (Таблица 4):

Таблица 4 - Значения скорректированной сезонной компоненты

Январь	S1	1,491	Июль	S7	0,695
Февраль	S2	0,987	Август	S8	0,616
Март	S3	1,250	Сентябрь	S9	0,664
Апрель	S4	1,155	Октябрь	S10	0,853
Май	S5	1,298	Ноябрь	S11	0,985
Июнь	S6	1,008	Декабрь	S12	0,997

Занесем полученные значения для соответствующих месяцев каждого года.

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения скорректированной сезонной компоненты. Получим: T·E = Y / S, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту T в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (T·E). Результаты аналитического выравнивания:

Т = -64018,071 + 1201,064 · t; R² = 0,863

Таблица 5 - Статистика уравнения тренда

Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-64018,071	1744,938	-36,688	6,24E-29
t	1201,064	82,242	14,604	3,27E-16

Уравнение описывает на 86,3% вариацию исходного показателя естественного прироста, при этом уравнение является статистически значимым при уровне надежности 95%.

Подставляя в это уравнение значения t = 1,…,36, найдем уровни Т для каждого момента времени.

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения скорректированной сезонной компоненты для соответствующих месяцев.

Шаг 6. Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле:

E = Y / (T·S)

Исходя из значений выше приведенных показателей качества, можно сделать вывод о том, что модель обладает высокой точностью и пригодна для прогнозирования.

2.4 Одномерный анализ Фурье

Выполним одномерный анализ Фурье для показателя естественного прироста населения РФ. Расчетная таблица ряда Фурье представлена в Приложении 5.

Переменными для составления модели будут следующие: t, cos(2·Π·t/12); sin(2·Π·t/12); cos(4·Π·t/12); sin(4·Π·t/12); cos(6·Π·t/12); sin(6·Π·t/12).

Значение знаменателя каждой дроби обусловлено периодичностью сезонных колебаний.

Построив модель с включением данных переменных, получаем следующее уравнение:

Ŷt = -64314,412 + 1178,132 · t – 5360,004 ·cos(2·Π·t/12) –12253,175 ·sin(2·Π·t/12) – 4098,437 ·cos(4·Π·t/12) + 1894,178 ·sin(4·Π·t/12) + 933,424 ·cos(6·Π·t/12) –5109,257 ·sin(6·Π·t/12); R² = 0,897

Таблица 6 - Статистика уравнения для модели ряда Фурье

Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-64314,412	2390,342	-26,906	1,49932E-21
t	1178,132	113,994	10,335	4,62652E-11
cos(2Pi*t/12)	-5360,004	1595,524	-3,359	0,002267582
sin(2Pi*t/12)	-12253,175	1647,329	-7,438	4,22248E-08
cos(4Pi*t/12)	-4098,437	1595,524	-2,569	0,015828755
sin(4Pi*t/12)	1894,178	1603,648	1,181	0,247471866
cos(6Pi*t/12)	933,424	1595,524	0,585	0,56321529
sin(6Pi*t/12)	-5109,257	1595,524	-3,202	0,003385848

Уравнение описывает на 89,7% вариацию исходного показателя естественного прироста, при этом уравнение является статистически значимым при уровне надежности 95%.

Но коэффициенты перед переменными sin(4·Π·t/12) и cos(6·Π·t/12) не удовлетворяют данному уровню надежности.

Исключим их из модели и перестроим уравнение регрессии.

Ŷt = -64096,083 + 1166,330 · t –5348,202 · cos(2·Π·t/12) –12297,219 · sin(2·Π·t/12) –4086,636 · cos(4·Π·t/12) – 5121,059 · sin(6·Π·t/12); R² = 0,891

Таблица 7 - Статистика уравнения для модели ряда Фурье

Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-64096,083	2361,646	-27,140	1,138E-22
t	1166,330	112,370	10,379	1,90859E-11
cos(2Pi*t/12)	-5348,202	1588,773	-3,366	0,002101931
sin(2Pi*t/12)	-12297,219	1639,342	-7,501	2,31486E-08
cos(4Pi*t/12)	-4086,636	1588,773	-2,572	0,015299504
sin(6Pi*t/12)	-5121,059	1588,773	-3,223	0,003049779

Уравнение описывает на 89,1% вариацию исходного показателя естественного прироста, уравнение статистически значимо при уровне надежности 95%. Все коэффициенты уравнения статистически значимы при аналогичном уровне надежности.

Модель имеет высокие показатели среднеквадратической ошибки и средней ошибки аппроксимации, но может быть использована для прогнозирования.

2.5 Регрессионная модель с переменной структурой (фиктивные переменные)

Рассмотрим еще один метод моделирования временного ряда, содержащего сезонные колебания, - построение модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных. Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний. В данном случае при моделировании ежемесячных данных модель должна включать двенадцать независимых переменных – фактор времени и одиннадцать фиктивных переменных. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную (циклическую) компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных периодов.