Елементи дисперсійного аналізу і теорії кореляції (стр. 3 из 5)
(8)– рівняння регресії
на 
.Аналогічно визначаються умовне математичне сподівання випадкової величини
і функція, а також рівняння регресії на : 
(9)Функції
і 
(рівняння регресії), що уявляють інтерес, у загальному випадку невідомі, тому їх шукають у наближеному вигляді, причому звичайно обмежуються лінійним наближенням: 
(10)де
і 
– параметри, що підлягають визначенню. Найчастіше для цього вживають метод найменших квадратів.Функцію
називають "найкращим наближенням" у сенсі методу найменших квадратів, якщо математичне сподівання 
(11)приймає найменше можливе значення. При цьому функцію
називають середньоквадратичною регресією на .У теорії ймовірностей доведено, що лінійна середня квадратична регресія
на має вигляд 
де
, 
, 
, 
, 
– коефіцієнт кореляції величин і , 
– кореляційний момент цих величин.Можна показати, що кореляційний момент
характеризує зв'язок між величинами і , зокрема, якщо вони незалежні, то 
Коефіцієнт
називають коефіцієнтом регресії
на , а пряму
(12)називають прямою середньоквадратичної регресії
на .При підстановці знайдених значень
і 
у формулу (11) отримуємо мінімальне значення функції 
, що дорівнює 
Цю величину називають залишковою дисперсією випадкової величини
щодо випадкової величини . Вона характеризує похибку, що виникає під час заміни лінійною функцією (10). При 
залишкова дисперсія дорівнює нулю, тобто в цих випадках лінійна функція (10) точно подає випадкову величину . Це означає, що при цьому та пов'язані лінійною функціональною залежністю.Аналогічний вигляд має і пряма середньоквадратичної регресії
на 
(13)Очевидно, що обидві прямі регресії (12) і (13) проходять через спільну точку
, яка називається центром спільного розподілу величин і . Якщо коефіцієнт кореляції 
дорівнює нулю, то пряма регресії на (12) є паралельною осі 
, а пряма регресії на (13) – паралельна осі 
, тобто вони є взаємно ортогональні. Крім того, при обидві прямі регресії співпадають.Таким чином, значення кута між прямими регресії (12) і (13) характеризує тісноту зв’язку між випадковими величинами: чим менше кут, тим більш тісною є зв’язок.
2.3 Умовне середнє і вибіркова регресія
У математичній статистиці вводять вибіркові оцінки умовного математичного сподівання і регресії. У якості оцінки умовного математичного сподівання
беруть умовне середнє 
, яке знаходять за вибірковими даними спостережень.Умовним середнім
називається середнє арифметичне значень випадкової величини , що спостерігаються за умови, яка випадкова величина при цьому має значення . Аналогічно визначається і умовне середнє 
, однак надалі для стислості викладення обмежимося в основному розглядом тільки і пов'язаними з ним питаннями.Також як і умовне математичне сподівання
, його вибіркова оцінка є функцією від змінної , що позначимо через 
і будемо називати вибірковою регресією на , а її графік – вибірковою лінією регресії на . Крім того, за аналогією з рівняннями (8) і (9) вводяться вибіркові рівняння регресії на і на , відповідно