Экономическое моделирование (стр. 2 из 5)
2. Рассчитайте средние коэффициенты эластичности.
3. Определите парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделайте выводы о силе связи результата и факторов.
4. Дайте оценку полученного уравнения на основе общего F-критерия Фишера.
5. Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.
6. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.
7. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.
Решение.
Построение линейной множественной регрессии сводится к оценке ее параметров – а, b1 и b2. Для расчета параметров а, b1 и b2 уравнения регрессии
решаем систему нормальных уравнений относительно а, b1 и b2: 
По исходным данным произведем расчет предварительных параметров (табл. 4.1)
Таблица 4.1
| № | У | Х1 | Х2 | Х12 | Х22 | Х1·Х2 | У·Х1 | У·Х2 | ŷ |
| 1 | 203 | 118 | 105 | 13924,00 | 11025,00 | 12390,00 | 23954,00 | 21315,00 | 197,29 |
| 2 | 63 | 28 | 56 | 784,00 | 3136,00 | 1568,00 | 1764,00 | 3528,00 | 80,63 |
| 3 | 45 | 17 | 54 | 289,00 | 2916,00 | 918,00 | 765,00 | 2430,00 | 73,07 |
| 4 | 113 | 50 | 63 | 2500,00 | 3969,00 | 3150,00 | 5650,00 | 7119,00 | 100,80 |
| 5 | 121 | 56 | 28 | 3136,00 | 784,00 | 1568,00 | 6776,00 | 3388,00 | 44,39 |
| 6 | 88 | 102 | 50 | 10404,00 | 2500,00 | 5100,00 | 8976,00 | 4400,00 | 98,90 |
| 7 | 110 | 116 | 54 | 13456,00 | 2916,00 | 6264,00 | 12760,00 | 5940,00 | 110,97 |
| 8 | 56 | 124 | 42 | 15376,00 | 1764,00 | 5208,00 | 6944,00 | 2352,00 | 93,91 |
| 9 | 80 | 114 | 36 | 12996,00 | 1296,00 | 4104,00 | 9120,00 | 2880,00 | 80,01 |
| 10 | 237 | 154 | 106 | 23716,00 | 11236,00 | 16324,00 | 36498,00 | 25122,00 | 212,75 |
| 11 | 160 | 115 | 88 | 13225,00 | 7744,00 | 10120,00 | 18400,00 | 14080,00 | 167,62 |
| 12 | 75 | 98 | 46 | 9604,00 | 2116,00 | 4508,00 | 7350,00 | 3450,00 | 90,66 |
| Итого: | 1351,00 | 1092,0 | 728,0 | 119410,0 | 51402,0 | 71222,0 | 138957,0 | 96004,0 | 1351,00 |
Систему линейных уравнений удобно решать методом Крамера (метод определителей):
- частные определители, которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы. 
частный определитель параметра а.
частный определитель параметра х1.
частный определитель параметра х2.
Теперь произведем расчет коэффициентов множественной регрессии:
Аналогичные результаты можно получить с помощью автоматической процедуры нахождения параметров «Анализ данных» → «Регрессия» MS Excel уравнения множественной регрессии:
Окончательно уравнение множественной регрессии, связывающее валовой доход за год (у) со средней стоимостью основных фондов (х1) и со средней стоимостью оборотных средств (х2) имеет вид:
Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы – с увеличением среднегодовой стоимости основных фондов на 1 млн. руб. размер валового дохода возрастет в среднем на 380 тыс. руб., при том же стоимости оборотных средств. Увеличение среднегодовой стоимости оборотных средств на 1 млн. руб. при той же стоимости основных фондов предполагает дополнительное увеличение валового дохода за год на 1,68 млн. руб.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы для каждого из них. Выдвигается гипотеза H0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки по формулам:
и 
.Где случайные ошибки параметров линейной регрессии определяются следующим образом:
; 
средняя квадратическая ошибка i-го коэффициента регрессии (стандартная ошибка i-го коэффициента регрессии); 
среднеквадратичное отклонение величины у; 
среднеквадратичное отклонение величины х1; 
среднеквадратичное отклонение величины х2; 
совокупный коэффициент множественной корреляции;
определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
определитель матрицы межфакторной корреляции. Как видно, величина множественного коэффициента корреляции зависит не только от корреляции результата с каждым их факторов, но и от межфакторной корреляции. Парный коэффициент корреляции между у и х1 рассчитывается по формуле:
Произведем расчет необходимых параметров в таблице 4.2
Таблица 4.2
| № | У | Х1 |  |  |  |  |  |
| 1 | 203,0 | 118,0 | 90,4 | 27,0 | 2441,25 | 8175,17 | 729,00 |
| 2 | 63,0 | 28,0 | -49,6 | -63,0 | 3123,75 | 2458,51 | 3969,00 |
| 3 | 45,0 | 17,0 | -67,6 | -74,0 | 5001,17 | 4567,51 | 5476,00 |
| 4 | 113,0 | 50,0 | 0,4 | -41,0 | -17,08 | 0,17 | 1681,00 |
| 5 | 121,0 | 56,0 | 8,4 | -35,0 | -294,58 | 70,84 | 1225,00 |
| 6 | 88,0 | 102,0 | -24,6 | 11,0 | -270,42 | 604,34 | 121,00 |
| 7 | 110,0 | 116,0 | -2,6 | 25,0 | -64,58 | 6,67 | 625,00 |
| 8 | 56,0 | 124,0 | -56,6 | 33,0 | -1867,25 | 3201,67 | 1089,00 |
| 9 | 80,0 | 114,0 | -32,6 | 23,0 | -749,42 | 1061,67 | 529,00 |
| 10 | 237,0 | 154,0 | 124,4 | 63,0 | 7838,25 | 15479,51 | 3969,00 |
| 11 | 160,0 | 115,0 | 47,4 | 24,0 | 1138,00 | 2248,34 | 576,00 |
| 12 | 75,0 | 98,0 | -37,6 | 7,0 | -263,08 | 1412,51 | 49,00 |
| Итого | 1351,00 | 1092,00 | 16016,00 | 39286,92 | 20038,00 | ||
| Среднее значение | 112,6 | 91,0 |
Тогда коэффициент корреляции между у и х1 составит:
Парный коэффициент корреляции между у и х2 рассчитывается по формуле:
Произведем расчет необходимых параметров в таблице 4.3
Таблица 4.3
| № | У | Х2 | |  |  |  |  |
| 1 | 203,0 | 105,0 | 90,4 | 44,3 | 4008,47 | 8175,17 | 1965,44 |
| 2 | 63,0 | 56,0 | -49,6 | -4,7 | 231,39 | 2458,51 | 21,78 |
| 3 | 45,0 | 54,0 | -67,6 | -6,7 | 450,56 | 4567,51 | 44,44 |
| 4 | 113,0 | 63,0 | 0,4 | 2,3 | 0,97 | 0,17 | 5,44 |
| 5 | 121,0 | 28,0 | 8,4 | -32,7 | -274,94 | 70,84 | 1067,11 |
| 6 | 88,0 | 50,0 | -24,6 | -10,7 | 262,22 | 604,34 | 113,78 |
| 7 | 110,0 | 54,0 | -2,6 | -6,7 | 17,22 | 6,67 | 44,44 |
| 8 | 56,0 | 42,0 | -56,6 | -18,7 | 1056,22 | 3201,67 | 348,44 |
| 9 | 80,0 | 36,0 | -32,6 | -24,7 | 803,72 | 1061,67 | 608,44 |
| 10 | 237,0 | 106,0 | 124,4 | 45,3 | 5640,22 | 15479,51 | 2055,11 |
| 11 | 160,0 | 88,0 | 47,4 | 27,3 | 1296,06 | 2248,34 | 747,11 |
| 12 | 75,0 | 46,0 | -37,6 | -14,7 | 551,22 | 1412,51 | 215,11 |
| Итого | 1351,00 | 728,00 | 14043,33 | 39286,92 | 7236,67 | ||
| Среднее значение | 112,6 | 60,7 |
Тогда коэффициент корреляции между у и х2 составит: