Экономическое моделирование (стр. 1 из 5)

Задача 1

Пусть имеется следующая модель регрессии, характеризующая зависимость x от y:

.

Известно также, что,

.

Задание

1. Постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии в этой модели:

a. с вероятностью 90%;

b. с вероятностью 99%.

2. Проанализируйте результаты, полученные в п.1, и поясните причины их различий.

Решение.

Формула для расчета доверительного интервала для коэффициента регрессии имеет вид:

где

- случайная ошибка параметра линейной регрессии. Оценка значимости коэффициента регрессии проводится путем сопоставления его значения с величиной случайной ошибки.

где F – F-критерий Фишера и определяется из соотношения:

Тогда

При

и числа степеней свободы табличное значение .

Сравнив его с расчетными значениями, получаем, что

, из чего следует, что гипотезу о несущественности параметра b с вероятностью 90% (p = 1 – α) следует отклонить

Для коэффициента регрессии в примере 90 %-ые границы составят:

-7 + 1,7143 · (-2,86) ≤ b ≤ -7 - 1,7143 · (-2,86)

-11,9 ≤ b ≤ -2,04

При

и числа степеней свободы табличное значение .

Сравнив его с расчетными значениями, получаем, что

, из чего следует, что гипотезу о несущественности параметра b с вероятностью 99% (p = 1 – α) следует принять и признается статистическая незначимость параметра b.

Для коэффициента регрессии в примере 99 %-ые границы составят:

-7 + 2,8784 · (-2,86) ≤ b ≤ -7 – 2,8784 · (-2,86)

-15,23 ≤ b ≤ 1,232

Получили, что доверительный интервал для коэффициента корреляции с вероятностью 90% значительно меньше доверительного интервала с вероятностью 99%. Это объясняется тем, что при увеличении интервала вероятность попадания в него оцениваемого параметра растет и наоборот, с уменьшением интервала – вероятность снижается.

№	Производительность труда рабочих, тыс.руб., y
	фактическая, y	расчетная,
1	12	10	0,167	4	0,16
2	8	10	0,250	4	12,96
3	13	13	0,000	0	1,96
4	15	14	0,067	1	11,56
5	16	15	0,063	1	19,36
6	11	12	0,091	1	0,36
7	12	13	0,083	1	0,16
8	9	10	0,111	1	6,76
9	11	10	0,091	1	0,36
10	9	9	0	0	6,76
Итого:	-	-	0,922	14	60,40
Ср. значение	11,6	-	-	-	-

Задача 2

Зависимость среднемесячной производительности труда от возраста рабочих характеризуется моделью

. Ее использование привело к результатам, представленным в таблице:

№	Производительность труда рабочих, тыс.руб., y
	фактическая	расчетная
1	12	10
2	8	10
3	13	13
4	15	14
5	16	15
6	11	12
7	12	13
8	9	10
9	11	10
10	9	9

Задание

Оцените качество модели, определив ошибку аппроксимации, индекс корреляции и F-критерий Фишера.

Решение

Значение средней ошибки аппроксимации находится по формуле:

Рассчитанное значение средней ошибки аппроксимации говорит о предельном качестве модели, поскольку близко подходит к критическому пределу в 10%.

Индекс корреляции (для нелинейной регрессии):

Найденное значение индекса корреляции говорит о наличии близкой зависимости среднемесячной производительности труда от возраста рабочих.

F-критерий Фишера:

.

При уровне значимости α = 0,05, k₁ = 1 (m) и k₂ = 10 (n-m-1=10-1-1) степенях свободы табличное значение F-критерия Фишера

.

=26,5 > =5,12, значит, H₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик откланяется и признается их статистическая значимость и надёжность. Вывод: показатели рассчитанных коэффициентов позволяют предложить отобразить зависимость среднемесячной производительности труда от возраста рабочих выбором более точной модели путем введения дополнительных переменных, либо изменением уравнения регрессии.

Задача 3

регрессия аппроксимация корреляция спрос

Зависимость спроса на товар K от его цены характеризуется по 20 наблюдениям уравнением:

. Доля остаточной дисперсии в общей составила 18%.

Задание

1. Запишите данное уравнение в виде степенной функции.

2. Оцените эластичность спроса на товар в зависимости от его цены.

3. Определите индекс корреляции.

4. Оцените значимость уравнения регрессии через F-критерий Фишера. Сделайте выводы.

Решение.

1. Уравнение в виде степенной функции:

2. Эластичность степенной функции:

Фактором снижения спроса выступает его цена: с ростом цены на 1%, спрос снижается на 0,35%.

3. Индекс корреляции (для нелинейной регрессии):

Поскольку доля остаточной дисперсии в общей составила 18%, поэтому уравнение регрессии объясняется 82% дисперсии результативного признака, т. е. коэффициент детерминации равен R² = 0,82.

Индекс корреляции находится:

Величина индекса корреляции достаточно близка к 1 и означает наличие достаточно тесной связи объема спроса от размера цены.

F –тест состоит в проверке гипотезы H₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого сравнивается фактическое и критическое значение F-критерия Фишера. При уровне значимости α = 0,05, k₁ = 1 (m) и k₂ = 20 (n-m-1=20-1-1) степенях свободы табличное значение F-критерия Фишера

:

.

> ,

то H₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик откланяется и признается их статистическая значимость и надёжность.

Вывод: уравнение регрессии характеризует достаточно тесную зависимость спроса на товар K от его цены. Причем, наблюдается обратная зависимость: с увеличением цены, спрос падает.

Задача 4

Изучение влияния стоимости основных и оборотных средств на величину валового дохода торговых предприятий. Для этого по 12 торговым предприятиям были получены данные, приведенные в таблице:

Номер предприятия	Валовой доход за год, млн.руб.	Среднегодовая стоимость, млн.руб.
		основных фондов	оборотных средств
1	203	118	105
2	63	28	56
3	45	17	54
4	113	50	63
5	121	56	28
6	88	102	50
7	110	116	54
8	56	124	42
9	80	114	36
10	237	154	106
11	160	115	88
12	75	98	46

Задание

1. Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров. Оцените статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия.