1) если a>0, то
;2) если a<0, то
;3) если a=0, то
.7. Решить неравенства.
(m-1)x<5m
если m-1>0, т.е. m>1, то
,2 если m-1<0, т.е. m<1, то
,3. если m-1=0, т.е. m=1, то
.(a-1)x>6
если a-1>0, т.е. a>1, то
,2. если a-1<0, т.е. a<1, то
,3. если a-1=0, т.е. а=1, то решений нет.
При каких значениях параметра b уравнение
имеет положительный корень?Решение.
Так как корень х>0, то 0,8 b+14>0; 0,8 b>-14; b>-1,75.Ответ: при b>-1,75
Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета. Исследование трехчлена.
Алгоритм решения уравнений.
Аналитический способ решения.
Графический способ.
Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.
Цель: Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений с параметрами.
Примерное содержание.
1.Повторить
Теорему Виета.
Тождество
Свойства функций
иПри каких значениях a, b, c и Д корни квадратного уравнения одного или разных знаков.
5. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.
2.Решить уравнения: 1)ax² + 2x + 4=0,
2)(a + 3)x²+2x(a+5)+2a+7=0.
Ответ: 1) x=-2 при а=0; х=-4 при а=1/4;
при ; не имеет корней при а >1/4 .2) х=-1/4 при а=-3; х=1, х=-3/2при а=-4,а=1;
при ; не имеет корней при .Область значений функции.
Область определения функции.
Монотонность. Координаты вершины параболы.
Цель: Познакомить с многообразием задач с параметрами.
Примерное содержание.
Квадратичная функция задаётся формулой y=ax²+bx+c, где
параметры, x и y- переменные. Графиком квадратичной функции является парабола.Коэффициент a определяет направление ветвей параболы. Если а >0 , то они направлены вверх, если а<0, то направлены вниз. Дискриминант квадратного трёхчлена D=b²-4ac определяет наличие и количество общих точек с осью Ох. Если D<0, то парабола не пересекает ось абсцисс. Если D=0, то парабола и ось имеют одну общую точку. Если D>0, то общих точек две.
Графический способ решения задач с параметрами является универсальным, а значит (обратная сторона любой универсальности), есть конкретные случаи, когда задачу можно решить несколько проще.
Пусть для функции y=ax²+bx+c, где
параметры, x и y — переменные. Числа и – нули функции, D = b – 4ac, D > 0, , = - - абсцисса вершины параболы. В этих задачах, как правило, требуется определить те значения параметра, при которых выполняется некоторое условие для расположения корней.Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр.
Тригонометрические неравенства, содержащие параметр.
Область значений тригонометрических функций.
Цель: Сформировать умение использования свойств тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.
Исследование дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры.
Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств, содержащих параметры.
Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами.
Цель: Сформировать умение решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами, рациональные уравнения
Касательная к функции.
Критические точки.
Монотонность.
Наибольшие и наименьшие значения функции.
Построение графиков функций.
Цель: Познакомить учащихся с типом задач с параметрами на применение методов дифференциального исчисления.
Уравнения высших степеней. Теорема Безу. Симметрические уравнения. Система однородных уравнений и приводящиеся к ним. Аналитические способы решения уравнений высших степеней с параметрами. Графический способ решения уравнений высших степеней с параметром
Задачи физического содержания. Задачи на объемные доли и концентрации вещества. Задачи на проценты.
В этом разделе формируются навыки решения текстовых задач.
(34 часа)
№ урока | Тема |
1 | Основные понятия уравнений с параметрами |
2 | Основные понятия неравенств с параметрами |
3-4 | Уравнения с параметрами (первой степени) |
5-6 | Неравенства с параметрами (первой степени) |
7-11 | Уравнения с параметрами (второй степени) |
12-14 | Неравенства с параметрами (второй степени) |
15-16 | Рациональные уравнения с параметрами |
17-18 | Графические приемы при решении |
19-20 | Свойства квадратичной функции |
21-23 | Текстовые задачи с использованием параметра |
24-25 | Иррациональные уравнения с параметрами |
26-28 | Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем |
29-30 | Уравнения и неравенства с параметрами с различными условиями |
31-32 | Нестандартные задачи |
33 | Итоговая контрольная работа по курсу |
34 | Защита индивидуальных проектов |
Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение приемами решения задач с параметрам можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.
Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.
1. Решить уравнение:
2. Решить уравнение:
3. Решить уравнение:
4. Решить уравнение:
5. Решить уравнение:
6. Решить уравнение:
7. Решить уравнение:
8. Решить уравнение:
9. Решить уравнение: