В течение века происходило постепенное осознание необходимости принятия иной концепции математики как учебного предмета: 1) выделение в качестве основных предметов школьного образования арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии, которые постепенно осознавались как элементарная математика; 2) очищение их от большей части прикладного материала и выделение его в виде отдельных дисциплин исключительно профессионального обучения; 3) выделение высших разделов математики (дифференциального и интегрального исчислений, элементов аналитической геометрии и др.) для продвинутого (в перспективе – высшего) математического образования. Эти тенденции позволяли постепенно преодолевать дефект многопредметности как внутри системы математического образования, так и в качестве основного недостатка профессиональной образовательной системы. Шестая. Характерной особенностью математического образования XVIII в. стало уже упоминавшееся явление патронажа над ним математики как науки. Эффективным механизмом этого патронажа явилось такое уникальное явление отечественной интеллектуальной истории, как методическая школа Леонарда Эйлера. В методической школе Эйлера доминировали фундаментальные идеи, составлявшие очень современную для того времени концепцию математического образования: идея сближения содержания математического образования с современной математикой, блестяще реализованная в учебниках самого Эйлера и его учеников и последователей – Фусса, Головина, Румовского и Котельникова; идея разумной минимизации математических дисциплин путем вычленения в школьном математическом образовании основных – арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии, реализация которой нейтрализовала один из существеннейших недостатков математического образования (многопредметность); идея построения учебных математических курсов на базе основополагающих дидактических принципов: систематичности, научности и доступности, учета возрастных особенностей. Методическая школа Эйлера стала фундаментальным фактором дальнейшего развития отечественного математического образования, сфера действия которого была чрезвычайно широкой, включая профессиональную и академическую образовательные системы, а также систему народных училищ. Эйлер, его ученики и последователи Курганов, Котельников, Румовский, Головин, Фусс были костяком образовательных учреждении академической и профессиональных образовательных систем, активно участвовали в подготовке следующих поколений преподавателей, создавали циклы учебных руководств по математике для этих учреждений.
Третий этап начался образовательными реформами 1804 г. и завершился во второй половине XIX в. Классическая система школьного математического образования, одна из моделей которой создана в России, имела международный характер, ей была присуща четкая дифференциация на возрастные (начальное, среднее и высшее математическое образование) и содержательные (в начальной и средней школе изучалась элементарная математика, в высшей – высшая математика) уровни. В средней школе математическое образование включало четырехпредметный цикл – арифметику, алгебру, геометрию и тригонометрию.
В дореволюционной России дифференцированное обучение осуществлялось путем создания средних учебных заведений разного типа. С 1804 г. основным типом средней общеобразовательной школы в России стала классическая гимназия. Она давала гуманитарно-классичесное образование. В 1864 г. были учреждены реальные гимназии, которые с 1872 г. преобразовали в реальные училища. Основу образования в них составляли естественнонаучные предметы, благодаря чему эти училища давали большой объем знаний по математике, физике, биологии. Их учебные планы включали также химию и черчение, а вместо древних языков изучались немецкий и французский.
С конца XIX в. стала расти сеть коммерческих училищ, которые готовили учащихся к торгово-промьшленной деятельности и поступлению в высшие коммерческие и технические учебные заведения. Кроме общеобразовательных предметов, в этих училищах изучались специальные предметы. Первое коммерческое училище было открыто в Москве в 1773 г.
ДМОШ давало математическое образование реальных, коммерческих училищ, которые готовили учащихся к торгово-промышленной деятельности и поступлению в высшие коммерческие и технические учебные заведения, то есть из академической, профессиональной и репетиторской.
Четвертый этап приходится на 60–70-е гг. XIX в. Частично внедряются в школьное обучение математике новые идеи: методическая модернизация систематического курса арифметики; введение функциональных идей, элементов математического анализа и основ теории вероятностей в курс алгебры; реконструируется курс геометрии с помощью идеи движения и основ аналитической геометрии. Широко обсуждалась также идея фузионизма в узком и в широком смысле. Апофеозом реформаторских настроений стали I и II Всероссийские съезды преподавателей математики (1911–1914 гг.).
ДМОШ на этом этапе можно понимать как учебный процесс, выходящий за рамки учебной программы классической гимназии и направленный на подготовку к поступлению в вузы или связанный с будущей профессиональной деятельностью (академическое, профессиональное и репетиторское).
Пятый этап начался в 1918 г. изданием ВЦИК «Положения о единой трудовой школе РСФСР», которое утверждало единую систему образования, общее обязательное бесплатное обучение. В 20-х гг. школьное математическое образование подвергалось не всегда продуманным новациям: была предпринята попытка модернизации школьного курса в духе международных реформации начала века; насаждался лабораторно-бригадный метод, метод проектов, комплексное преподавание, предполагавшее отказ от систематического изучения основ наук, в том числе математики. Эти новации не получили признания со стороны учителей математики, существенно снизили уровень математической подготовки выпускников школы.
В связи с тем, что школьное обучение в данный период было тесно связано с производством и имело своей целью подготовить политически активных рабочих и крестьян, продолжение обучения выпускников школ в техникумах и вузах лишь декларировалось, но практически было невозможным. Поэтому в 1919 г. возник особый тип среднего учебного заведения – рабфак (рабочий факультет). Задачей рабфаков было в кратчайшие сроки подготовить рабочих и крестьян к поступлению в вуз. Законодательно это было оформлено Декретом СНК РСФСР от 17 сентября 1920 г. Был установлен 3-летний срок обучения на дневных отделениях и 4-летний – на вечерних. Рабфаки в значительной мере помогли ликвидировать пробелы в общеобразовательной подготовке молодежи, возникшие из-за излишне революционных экспериментов со школой с 1918 по 1933 г. Действовали рабфаки вплоть до 1940 г.
С 1926/27 учебного года в городах и поселках организуются фабрично-заводские семилетки (ФЗС и ФЗУ), в селе – школы крестьянской молодежи (ШКМ). С 1924 г. началась профессионализация старшей ступени (8–9 классы). Возникли школы с сельскохозяйственным, индустриальным, экономическим, кооперативным, педагогическим и другими уклонами. Однако эта профессионализация школы себя не оправдала, так как ее выпускники не обладали ни должной профессиональной квалификацией, ни общеобразовательным уровнем, достаточным для поступления в вуз. Тем более что с 1924 по 1931 г. в школе господствовало так называемое комплексное преподавание, не предполагавшее систематического изучения учебных предметов. Например, математика и русский язык выступали как вспомогательные средства при ознакомлении учащихся с «комплексом знаний» по трем основным разделам: природа, труд, общество. Так, программа 1927 г. выделяла следующие пути «комплексирования»: составление иллюстрированных математических задач на материале комплексной темы; иллюстрация взаимосвязи математики с физикой, химией, естествознанием, обществоведением и т.д.; возникновение некоторых вопросов математики из материала какой-либо комплексной темы (составление сметы, учет времени рабогы и т.п.); выбор комплексных тем, требующих значительного применения математики, например изучение счетоводства школы.
Именно к этому периоду относится использование книг типа «Математика токаря», «Математика летом» и т.п. Появляются рабочие книги по математике (М.Ф. Берга и др.), которые обычно строились так: исходный комплекс – определенный объем математических сведений, их использование для обслуживания комплекса. Как уже было отмечено, в эти годы распространялись бригадно-лабораторный метод обучения и метод «проектов». На практике учительство не только не признавало эти новшества, но и с разумным консерватизмом сочетало данные формы работы с урочной системой предметного преподавания, особенно по математике. Жизнь показала их правоту, которая подтвердилась целой серией постановлений ЦК ВКП(б) и СНК СССР, начиная с 1931 г.
Дополнительное математическое образование школьников имело более сложную структуру: наряду с академическим, профессиональным, репетиторским, начали работать подготовительные курсы (рабфаки, готовящие в вуз в кратчайшие сроки рабочую молодежь).
Шестой этап начался в 1931 г. с восстановления предметного преподавания основ наук, введения стабильных программ, в том числе по математике. Вводились и стабильные учебники, преимущественно в виде откорректированных учебников математики дореволюционной школы. В 40– 50-е гг. советская модель классического школьного математического образования достигла наиболее оптимального функционирования, о чем говорит хотя бы то, что одной из важнейших причин успехов советской науки и техники (апогей – начало космических проектов) признана советская модель образования, в которой ведущие позиции занимала математическая составляющая. Отметим, что в этот период была разработана и начала функционировать система внеклассной работы советской школы. Под внеклассной работой по математике понимаются необязательные систематические занятия учащихся с преподавателем во внеурочное время. Следует различать два вида внеклассной работы по математике: работа с отстающими учащимися; работа с учащимися, проявляющими к изучению математики повышенный, по сравнению с другими, интерес и способности. Такие занятия отвечают следующим основным целям: «Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям. Расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу. Оптимальное развитие математических способностей у учащихся и привитие учащимся определенных навыков научно-исследовательского характера. Воспитание высокой культуры математического мышления. Развитие у учащихся умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой. Расширение и углубление представлений учащихся о практическом значении математики в технике и практике социалистического строительства. Расширение и углубление представлений учащихся о культурно-исторической ценности математики, о ведущей роли советской математической школы в мировой науке. Воспитание у учащихся чувства коллективизма и умения сочетать индивидуальную работу с коллективной. Установление более тесных деловых контактов между учителем математики и учащимися и на этой основе более глубокое изучение познавательных интересов и запросов школьников. Создание актива, способного оказать учителю математики помощь в организации эффективного обучения математике всего класса (помощь в изготовлении наглядных пособий, занятиях с отстающими, в пропаганде математических знаний среди других учащихся)». Предполагается, что эти цели частично реализуются на уроках. Окончательная же реализация целей переносится на внеклассные занятия. Следовательно, внеклассная работа дает дополнительные знания по математике, т.е. дополнительное математическое образование.