Тема 12. Оптимальные линейные цифровые фильтры (стр. 4 из 5)

Рис. 12.4.2. Сжатие сигнала с высокочастотным спектром

На рис. 12.4.2. приведен пример сжатия сигнала, близкого к прямоугольному импульсу. Базовая функция сигнала s(k) имеет достаточно высокочастотный спектр мощности Ws(w), и при задании формы выходного сигнала сжатия в виде гауссовой функции z(k) передаточная функция фильтра H(w) обеспечивает уверенное сжатие сигнала (при уменьшении уровня шумов практически до заданной формы).

В пределе, при Wq=0 фильтр сжатия превращается в фильтр деконволюции:

H(w)= S*(w) / |S(w)|² = 1/S(w), (12.4.4)

На выходе такого фильтра имеем:

Y(w) = H(w)X(w) → 1, при X(w) → S(w).

Реализация фильтра возможна только при условии S(w) > 0 на всех частотах в главном частотном диапазоне. В противном случае, при S(w_i) → 0, H(w_i) → ∞ и фильтр становится неустойчивым. Для исключения возможности такого явления в фильтр (12.4.4) вводится стабилизатор a:

H(w) = S*(w) / [|S(w)|²+a], (12.4.5)

где |S(w)|²+a > 0 во всем частотном диапазоне.

Фильтры деконволюции могут использоваться не только для повышения разрешающей способности данных, но и для интерпретации геофизических данных, если формирование полезного входного сигнала удовлетворяет принципу суперпозиции данных по зависимости от искомых параметров.

12.5. Фильтр обнаружения сигналов /42/.

Фильтр используется при решении задач обнаружении сигналов известной формы на существенном уровне шумов, значение которых может превышать значения сигналов. В процессе фильтрации необходимо зафиксировать наличие сигнала в массиве данных, если он там присутствует (может не присутствовать), при этом сохранения формы сигнала не требуется. Сама форма сигнала полагается известной либо по теоретическим данным, либо по результатам измерений на моделях. Для уверенного обнаружения сигнала фильтр должен обеспечить максимально возможную амплитуду выходного сигнала над уровнем помех и выполняется на основе критерия максимума пикового отношения сигнал/шум.

Частотная характеристика. Для расчета фильтра требуется задать известную форму полезного сигнала s(k) - S(w) и функцию автокорреляции или спектр мощности помех R_q(m) - W_q(w). Полный входной сигнал принимается по аддитивной модели: x(t) = s(t)+q(t). На выходе проектируемого фильтра h(n) - H(w) для составляющих выходного сигнала имеем:

y(t) =

H(w) S(w) exp(jwt) dw, (12.5.1)

s² =

|H(w)|² W_q(w) dw, (12.5.2)

где s - средняя квадратическая амплитуда выходной помехи.

Оптимальным в задаче обнаружения одиночного сигнала конечной длительности является фильтр, обеспечивающий на выходе максимальное отношение пиковой мощности сигнала к мощности шума в момент окончания импульса. Значения (12.5.1, 12.5.2) используются для задания критерия максимума отношения сигнал/шум (12.2.3) для произвольной точки t_i:

r = [y(t_i)]²/d². (12.5.3)

Исследование функции (12.5.3) на максимум показывает, что он достигается при частотной характеристике фильтра:

H(w) = exp(-jwt_i) |S*(w)| / W_q(w), (12.5.4)

Для физически реализуемых фильтров в качестве точки t_i целесообразно использовать интервал длительности импульса t, при этом:

H(w) = exp(-jwt) |S*(w)| / W_q(w) = exp(-jj_s-jwt) |S(w)|/W_q(w). (12.5.4')

Аргумент j_s в этом выражении компенсирует фазовые сдвиги составляющих спектра сигнала, а wt обеспечивает их задержку на время длительности сигнала. Таким образом, на концевой части сигнала фильтр выполняет синфазное суммирование всех полезных частотных составляющих входного сигнала с весами, пропорциональными отношению |S(w)|/W_q(w), что обеспечивает накопление амплитуды полезного сигнала на интервале всей длительности входного импульса и формирует максимум сигнала на момент его окончания. Вместе с тем фильтр ослабляет спектральные составляющие шума тем сильнее, чем меньше модуль |S(w)|, и полная мощность шума на выходе фильтра оказывается меньшей, чем на входе.

Для получения линейных уравнений расчета коэффициентов фильтра без потери общности можно принять t_i=0, при этом:

H(w) = S*(w)/W_q(w) = |S(w)|exp(jj_s(w)) / W_q(w). (12.5.5)

При переходе во временную (координатную) область:

H(w)W_q(w) = S*(w) - h(n) ③ R_q(n-m) = s(-m). (12.5.6)

Система линейных уравнений для расчета фильтра:

h_oR_q(0)+ h₁R_q(1)+ h₂R_q(2)+ h₃R_q(3)+ ...+ h_MR_q(M) = S(-M),

h_oR_q(1)+ h₁R_q(0)+ h₂R_q(1)+ h₃R_q(2)+ ...+ h_MR_q(M-1)= S(-M+1),

h_oR_q(2)+ h₁R_q(1)+ h₂R_q(0)+ h₃R_q(1)+ ...+ h_MR_q(M-2)= S(-M+2),

. . . . . . . . . . . . .

h_oR_q(M)+ h₁R_q(M-1)+ h₂R_q(M-2)+ ..... + h_MR_q(0) = S(0).

При задании t_i по центру симметричных входных сигналов можно получить симметричные двусторонние фильтры, не изменяющие фазы сигнала.

На рис. 12.5.1 приведен пример фильтрации фильтром обнаружения сигнала радиоимпульса (информационный сигнал) в сумме с шумами (входной сигнал) при отношении сигнал/шум по средним амплитудным значениям на входе фильтра порядка 1. Аналогичное отношение сигнал/шум на выходе фильтра повышается до 7 по интервалу полезного сигнала в целом, и превышает 8 в центральной части интервала сигнала.

Рис. 12.5.1. Фильтр обнаружения сигнала.

Эффективность фильтра. Из выражения (12.5.5) можно видеть, что фильтр имеет максимальный коэффициент передачи на частотах доминирования сигнала и минимальный коэффициент передачи на частотах доминирования помех. Синфазность суммирования всех частотных составляющих выходного сигнала обеспечивает максимальную амплитуду выходного сигнала в заданный момент времени t_i. Значение максимальной амплитуды можно оценить, приняв t_i=0, при этом выходной сигнал:

y(0)- S(w) H(w) =

= .

Коэффициент передачи фильтра прямо определяется спектром подлежащего обнаружению сигнала, его формой и длительностью. Для оценки эффективности фильтра зададим входной сигнал в виде прямоугольного импульса амплитудой u₀ длительностью t на интервале 0-t. Спектральная плотность прямоугольного импульса при интегральном преобразовании Фурье:

П(w) = (1-exp(-jwt))/jw, П*(w) = (exp(jwt)-1)/jw.

При подстановке в (12.5.4'), принимая W_q(w) = const, коэффициент передачи фильтра:

H(w) = a[(exp(jwt)-1)exp(-jwt]/jw = a(1-exp(-jwt))/jw,

где a - коэффициент пропорциональности с размерностью, обратной спектральной плотности, для получения безразмерных значений коэффициента H(w). При a=1 (нормировка оператора фильтра производится, как правило, по коэффициенту усиления постоянной составляющей входного сигнала) сигнал на выходе фильтра:

u_вых(t) = (u₀/2p)

П(w)H(w) dw = (u₀/2p) (1-exp(-jwt))² exp(jwt) dw,

u_вых(t) = U₀{t|_t>0 – 2(t-t)|_t>t + (t-2t)|_t>2t}.

Рис. 12.5.2.

Как можно видеть на рис 12.5.2, выходной сигнал для входного прямоугольного импульса представляет собой треугольный импульс длительностью 2t по основанию с максимальным значением амплитуды на концевой части входного импульса. Это определяется тем, что при W_q(w)=1 оператор фильтра полностью повторяет форму входного сигнала (прямоугольного импульса), а выходной сигнал в отсутствие шумов представляет собой свертку двух одинаковых импульсов, максимальное значение которой достигается при полном входе сигнала в интервал оператора фильтра (t=t) и равно полной энергии входного импульса:

U₀ =

п(t)·h(t) dt = п(t)² dt = u₀²·t.

Значение U₀ определяется нормировкой оператора фильтра a. Что касается усиления дисперсии (мощности) шумов, то, как известно, дисперсия шума на выходе фильтра равна дисперсии входных шумов s², умноженной на интеграл квадрата импульсного отклика фильтра (для цифровых систем – сумма квадратов коэффициентов оператора фильтра):

s²_вых = s²

h²(t) dt = (s²/2p) |H(w|² dw.

Для вычисления интеграла модуль передаточной функции фильтра для прямоугольного импульса может быть представлен в виде интегрального синуса:

|H(w|² dw = 2t u₀² sinc²(wt/2) d(wt/2) = 2p u₀² t.

Дисперсия шумов на выходе:

s²_вых = s²u₀²t.

С использованием этого выражения для отношения мощности сигнала к мощности шума для сигналов на входе и выходе фильтра имеем:

r_вх = u₀²/s², r_вых = u₀⁴t²/s²u₀²t = u₀²t/s².