Тема 12. Оптимальные линейные цифровые фильтры (стр. 5 из 5)
Для отношения амплитудных значений сигнала к среднеквадратическим значениям шума:
rвх = u0/s, rвых = (u0/s)
.Отсюда следует, что эффективность фильтра тем выше, чем больше длительность взаимодействия сигнала с оператором фильтра. Фильтр жестко настраивается под форму сигнала, и любое изменение формы сигнала понижает его эффективность.
Отметим также, что коэффициент передачи фильтра тем больше и эффективность его работы тем выше, чем больше различия в форме частотных спектров сигнала и шумов. При постоянной форме спектров сигнала и шума любой другой фильтр уступает данному фильтру, как по пиковому, так и по энергетическому отношению сигнал/шум на выходе фильтра.
Согласованный фильтр. При помехах типа белого шума Wq(w) = s2 и из (12.5.5) следует H(w) = S*(w)/s2. Постоянный множитель 1/s2 может быть опущен. Частотная характеристика фильтра с точностью до постоянного множителя определяется только спектром сигнала, вследствие чего он и получил название согласованного (со спектром сигнала).
 Рис. 12.5.3. |
В качестве примера на рис. 12.5.3 приведен радиоимпульсный сигнал s(t), форма которого хорошо известна априорно, и зашумленный входной сигнал y(t) = s(t) + q(t), при этом мощность шумового сигнала q(t) в 2 раза больше мощности радиоимпульса.
 Рис.12.5.4. |
На рис. 12.5.4 приведены модули спектров S(w) ↔ s(t), S*(w) и аргументы этих спектров F(w) и F*(w) в правой половине главного частотного диапазона. Согласованный фильтр имеет АЧХ, подобную фильтру сигнала и фазово-частотную характеристику, комплексно сопряженную с ФЧХ сигнала. При этом оператор фильтра определяется выражением:
S*(w) ↔ s(-t’) = h(t’), (12.5.7)
что представляет собой реверсирование известной формы сигнала в интервале его значимых значений (для данного примера на рис. 12.5.3 t’=0…100 из интервала t=150…250)
 Рис. 12.5.5 |
На рис. 12.5.5 приведены модули спектров исходного и сигнала и выходного сигнала согласованного фильтра:
u(t) = y(t) ③ h(t’) = s(t) ③ h(t’) + q(t) ③ h(t’). (12.5.8)
Первый член этой формулы s(t)③h(t’), с учетом реверса оператора h(t’) = s(-t’) при свертке относительно s(t’), это функция автокорреляции сигнала s(t’), сдвинутая относительно начала сигнала s(t) в 12.5.8 на длину оператора h(t’), т.е. с максимумом на концевой части сигнала s(t). Что касается второго члена формулы, то свертка q(t) ③ h(t’) представляет собой интегрирование по интервалу оператора случайных шумовых компонент, умножаемых на весовую функцию h(t’) c нулевым средним значением, что приводит к их уменьшению, хотя спектральная характеристика этих шумов перекрывается со спектром выделяемого сигнала.
Рис. 12.5.6.
Пример согласованной фильтрации приведен на рис. 12.5.6. Для исключения сдвига по фазе выходного сигнала относительно входного можно выполнять сдвиг оператора фильтра влево по координатам на половину интервала длины оператора (второй график свертки на рисунке).
Фильтр мало эффективен при выделении коротких импульсных или длинных гармонических сигналов.
Обратный фильтр. Допустим, что помеха имеет такой же частотный состав, что и полезный сигнал, т.е.:
Wq = s2 |S(w)|2.
Выделение полезного сигнала в таких условиях сомнительно. Тем не менее, определим оптимальный фильтр:
H(w) = S*(w) / [s2 |S(w)|2] = 1 / [s2 S(w)]. (12.5.9)
Выражение (12.5.9) с точностью до постоянного множителя соответствует фильтру сжатия сигнала. Но если согласованный фильтр и фильтр сжатия рассматривать в качестве предельных случаев при полной неопределенности характеристики помех, то в качестве модели помех можно принять их суперпозицию:
Wq = a2 |S(w)|2+b2.
Подставляя это выражение в (12.5.5), с точностью до множителя получаем:
H(w) = S*(w) / [|S(w)|2+g2], (12.5.10)
где g = b/a - отношение дисперсий шума и сигнала. Фильтр стремится к согласованному при больших g, и к обратному (фильтру сжатия) при малых.
12.6. Энергетический фильтр.
Энергетический фильтр максимизирует отношение сигнал/помеха по всей длине фильтра (а не в отдельной точке), и если сигнал по своей протяженности укладывается в окно фильтра, то тем самым обеспечивается оценка формы сигнала. Фильтр занимает промежуточное положение между фильтром воспроизведения сигнала Колмогорова- Винера и согласованным фильтром и требует задания корреляционных функций сигнала и помех. Сигнал может быть представлен и в детерминированной форме с соответствующим расчетом его автокорреляционной функции.
Критерий оптимальности. Энергия сигнала на выходе фильтра:
Esh = Sk sk2 = Sk (Sn hn sk-n)2 = Sk hk Sn hn Rs(k-n), (12.6.1)
где Rs- функция автокорреляции сигнала. В векторной форме:
Esh =
. (12.6.2)Аналогично, выражение для энергии помех на выходе:
Eqh = Sk hk Sn hn Rq(k-n) =
, (12.6.3)где Rq - функция автокорреляции помех. При некоррелированной помехе Eqh = s2.
Подставим (12.6.2, 12.6.3) в выражение (12.2.4):
r =
/ . (12.6.4)Расчет векторов операторов фильтров. Для определения значений вектора
продифференцируем r по 
, и приравняем производную к нулю: 
. 
. (12.6.5)В системе уравнений (12.6.5) неизвестны собственные значения r матрицы
и значения коэффициентов hn. Система имеет N+1 ненулевых решений относительно значений r и соответствующих этим значениям векторов . Для определения коэффициентов фильтра приравнивается к нулю и решается относительно r определитель матрицы , после чего максимальное значение rmax подставляется в (12.6.5) и система уравнений решается относительно коэффициентов hi вектора 
. При фильтрации сигнала вектор 
обеспечивает выделение первой по мощности главной компоненты сигнала, т.е. составляющей сигнала, которая имеет наибольшую энергию и отношение сигнал/шум. В сложных полях такая компонента, как правило, соответствует региональному фону.В принципе, расчет может быть продолжен и для других значений r<rmax, и определены значения коэффициентов векторов
, 
и т.д., с использованием которых могут выделяться вторая и прочие компоненты сигнала. Наиболее эффективно такой метод используется для разделения сигналов (полей) при некоррелированных помехах. В этом случае корреляционная матрица помех является единичной (единицы по диагонали, остальное - нули) и уравнение (12.6.5) имеет вид: 
. (12.6.6)В развернутой форме:
ho(Rs(0)-r)+ h1Rs(1)+ h2Rs(2)+ h3Rs(3)+ ...+ hMRs(M) = 0,
hoRs(1)+ h1(Rs(0)-r)+ h2Rs(1)+ h3Rs(2)+ ...+ hMRs(M-1) = 0,
hoRs(2)+ h1Rs(1)+ h2 (Rs(0)-r)+ h3Rs(1)+ ...+ hMRs(M-2) = 0,
. . . . . . . . . . . . .
hoRs(M)+ h1Rs(M-1)+ h2Rs(M-2)+ ..... + hM (Rs(0)-r) = 0.
Выражение (12.6.6) при малом уровне шумов позволяет вместо ФАК какого-либо определенного сигнала использовать ФАК непосредственно зарегистрированных данных. Если при этом в зарегистрированных данных кроме помех присутствуют два (и более) сигналов, например, региональный фон и локальная составляющая (аномалия), то расчет векторов hi приобретает конкретный практический смысл. После первой фильтрации оператором
и выделения региональной составляющей, массив данных (исходный или с вычитанием из него региональной составляющей) может быть профильтрован повторно оператором , что позволит выделить и локальную аномалию (и т.д.). Разделение сигналов будет тем надежнее, чем сильнее они отличаются друг от друга по энергии и интервалу корреляции.В заключение отметим, что расчеты оптимальных фильтров могут производиться с использованием алгоритма Левинсона.
литература
12. Канасевич Э.Р. Анализ временных последовательностей в геофизике. - М.: Недра, 1985.- 300 с.
42. Яневич Ю.М. Задачи приема сигналов и определения их параметров на фоне шумов: Курс лекций. / СПбУ.
А.В.Давыдов.
07.02.10.
Cайт автора Лекции Практикум
О замеченных ошибках и предложениях по дополнению: davpro@yandex.ru.
Copyright © 2008-2010 Davydov А.V.