«Применение информационных технологий в решении нелинейных уравнений методом последовательных приближений.» (стр. 2 из 4)

Maple — система компьютерной математики, рассчитанная на широкий круг пользователей. До недавнего времени ее называли системой компьютерной алгебры, Ито указывало на особую роль символьных вычислений и преобразований, которые способна осуществлять эта система. Но такое название сужает сферу применения системы. На самом деле она уже способна выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами графической визуализации и подготовки электронных документов. Maple — тщательно и всесторонне продуманная система компьютерной математики. Она с равным успехом может использоваться как для простых, так и для самых сложных вычислений и выкладок. Ядро системы Maple используется в ряде других математических систем, например в MATLAB и Mathcad, для реализации в них символьных вычислений.

Maple — типичная интегрированная система. Она объединяет в себе:

· мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);

· редактор для подготовки и редактирования документов и программ;

· современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;

· мощную справочную систему со многими тысячами примеров;

· ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;

· численный и символьный процессоры;

· систему диагностики;

· библиотеки встроенных и дополнительных функций;

· пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.

Ко всем этим средствам имеется полный доступ прямо из программы. Maple — одна из самых мощных и «разумных» интегрированных систем символьной математики, созданная фирмой Waterloo Maple, Inc. (Канада).

Не случайно ядро системы Maple V используется целым рядом других мощных систем компьютерной математики, например системами класса Mathcad и MATLAB.

1.3. МАТLAB

МАТLAB - это высокопроизводительный язык для технических рассчетов. Он включает в себя вычисления, визуализацию и программирование в удобной среде, где задачи и решения выражаются в форме, близкой к математической. Типичное использование МАТLAB – это:

- математические вычисления

- создание алгоритмов

- моделирование

- анализ данных, исследования и визуализация

- научная и инженерная графика

- разработка приложений, включая создание графического интерфейса пользователя.

МАLAB – это интерактивная система, в которой основным элементом данных является массив. Это позволяет решать различные задачи, связанные с техническими вычислениями, особенно в которых используюся матрицы и вектора, в несколько раз быстрее, чем при написании программ с использованием «скалярных язаков программирования, таких как Си или Фортран.

Слово МАТLABозначает матричная лабаратолия (matrix laboratory), что свидетельствует о том, что МАТLAB был специально разработан для матричных вычислений.

Говоря о МАТLAB, нельзя не сказать о Simulink. Simulink, сопутствующая MATLAB программа, - это интерактивная система для моделирования нелинейных динамических систем. Она представляет собой среду, управляемую мышью, которая позволяет моделирвать процесс путем перетаскивания блоков диаграмм на экране и их манипуляций. Simulink работает с линейными, нелинейными, непрерывными, дискретными, многомерными системами.

Возникает вопрос о сравнении Maple и Matlab, так как ядро работы с символьными переменными из Maple используется в Matlab. Maple и MATLAB - принципиально разные пакеты. У них есть пересечение в символьной математике, а именно: MATLAB имеет расширение Maple, но на этом сходство заканчивается. Maple - чисто математический пакет, а MATLAB - это язык, на котором разговаривают ученые на международных симпозиумах, т. к. MATLAB используется и математиками, и химиками, и биологами, и многими, многими другими специалистами.

1.4. Mathematica

Mathematica — система компьютерной алгебры компании Wolfram Research. Содержит множество функций как для аналитических преобразований, так и для численных расчётов. Кроме того, программа поддерживает работу с графикой и звуком, включая построение дву- и трёхмерных графиков функций, рисование произвольных геометрических фигур, импорт и экспорт изображений и звука.

Mathematica объединяет в единое целое числовое и символьное вычислительное ядро, графическую систему, язык программирования, систему документации и возможность взаимодействия с другими приложениями. Mathematica имеет несколько основных особенностей и предназначена для решения широкого спектра задач. Вот некоторые классы задач, решаемых с помощью Mathematica:

Аналитические преобразования

· Решение систем полиномиальных и тригонометрических уравнений и неравенств, а также трансцендентных уравнений, сводящихся к ним.

· Решение рекуррентных уравнений.

· Упрощение выражения.

· Нахождение пределов.

· Интегрирование и дифференцирование функций.

· Нахождение конечных и бесконечных сумм и произведений.

· Решение дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

· Преобразования Фурье и Лапласа, а также Z-преобразование

· Преобразование функции в ряд Тейлора, операции с рядами Тейлора: сложение (математика), умножение, композиция, получение обратной функции и т. д.

Численные расчёты

· Вычисление значений функций, в том числе специальных, с произвольной точностью.

· Решение систем уравнений

· Нахождение пределов

· Интегрирование и дифференцирование

· Нахождение сумм и произведений

· Решение дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных

· Полиномиальная интерполяция функции от произвольного числа аргументов по набору известных значений

· Преобразования Фурье и Лапласа, а также Z-преобразование

Теория чисел

· Определение простого числа по его порядковому номеру, определение количества простых чисел, не превосходящих данное.

· Дискретное преобразование Фурье

· Разложение числа на простые множители, нахождение НОД и НОК.

Линейная алгебра

· Операции с матрицами: сложение, умножение, нахождение обратной матрицы, умножение на вектор, получение определителя.

· Поиск собственных значений и собственных векторов.

Графика и звук

· Построение графиков функций, в том числе параметрических кривых и поверхностей.

· Построение геометрических фигур: ломаных, кругов, прямоугольников, и т. д.

· Воспроизведение звука, график которого задаётся аналитической функцией или набором точек.

· Импорт и экспорт графики во многих растровых и векторных форматах, а также звука.

Кроме того, это интерпретируемый язык функционального программирования. Можно сказать, что система Mathematica написана на языке Mathematica, хотя некоторые функции, особенно относящиеся к линейной алгебре, в целях оптимизации были написаны на языке C.

1.5. Какой пакет использовать для исследований разрешимости нелинейных уравнений?

Анализируя возможности, специфику, достоинства и недостатки каждого из вышерассмотренных уравнений математических пакетов, можно сказать, что пакет Mathematica наиболее универсален, а значит, и удобен. Действительно, для всей среды Mathematica нет единственного конкурента. Вообще говоря, конкуренты делятся на следующие группы: численные пакеты, системы компьютерной алгебры, приложения для набора текста и подготовки документации, графические и статистические системы, традиционные языки программирования (средства разработки интерфейсов) и электронные таблицы. С тех пор, как Mathematica впервые появилась, другие математические пакеты существенно расширили спектр собственных возможностей, первоначально они предназначались для решения задач, относящихся лишь к одной или двум вышеперечисленным категориям. Например, системы компьютерной алгебры научились решать задачи численно. Несмотря на это, Mathematica уникальна, потому что она неизменно объединяет все эти возможности.

В частности, исследуя разрешимость нелинейных уравнений, которые зачастую тем или иным методом аппроксимируются некоторой вспомогательной линейной задачей, приходишь к выводу, что использование системы Mathematica наиболее уместно для исследований, так как этот пакет сконструирован Wolfram Research как система компьютерной алгебры, что влечет наличие сильной алгебраической основы в пакете, в то время как, например, пакет MatLab скорее предназначен для оперирования громоздкими матрицами.

Глава 2. Методика исследований.

2.1. Теоретические выкладки.

Исследуется вопрос о существовании неподвижной точки у различных классов операторов. В частности рассмотрим оператор, не обязательно являющийся сжимающим. Если неподвижная точка существует, нас интересует, единственна ли она, а также сходятся ли к ней последовательные приближения.

Эта задача была изучена Канторовичем.Заметим, что в случае вещественных уравнений данная теория Канторовича известна под названием метода Ньютона, или метода касательных. Этот метод и некоторая его модификация являются в настоящее время одними из немногих, применяемых на практике для фактического нахождения решения нелинейного функционального уравнения.

Идея метода Ньютона заключается в том, что в окрестности имеющегося приближения

исходная задача

(1)

заменяется некоторой вспомогательной линейной задачей.