«Применение информационных технологий в решении нелинейных уравнений методом последовательных приближений.» (стр. 3 из 4)

Последняя задача выбирается так, чтобы погрешность замены имела более высокий порядок малости, чем первый, в окрестности имеющегося приближения . За следующее приближение принимается решение этой вспомогательной задачи.

В качестве такой вспомогательной задачи для (1) естественно взять линейную задачу вида

(2)

Ее решение принимается за следующее приближение

к решению исходного уравнения, т. е. итерации ведутся по формуле

(3)

где

– заданное начальное приближение.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода Ньютона в случае решения скалярного уравнения (1) согласно расчетной формуле (3). Для получения геометрически надо найти абсциссу точки пересечения с осью х касательной к кривой

в точке

(рис. 1). Уже в случае, когда f(x) – многочлен третьей степени, может случиться, что последовательность не сходится к корню при плохом начальном приближении. Например, в случае, изображенном на рис. 2, все четные приближения совпадают с a, а нечетные – с b, как говорят метод «зациклился». Для более сложных задач реальное поведение приближений при плохом начальном приближении становиться более сложным и трудно поддающимся анализу.

Об условиях сходимости метода Ньютона позволяет судить, например, теорема Канторовича.

Теорема 1. Пусть на отрезке

определена и дважды дифференцируема функция f(x), удовлетворяющая условиям:

Тогда на отрезке S существует решение х* уравнения (1), к которому сходится последовательность

, , определенная по (3), и имеет место оценка

(4)

Итак, произведем интерактивно некоторые исследования в системе Mathematica:

2.2. Исследование 1.

Пусть дано число

• составим уравнение для получения искомого числа

Проверим:

• определим отрезки, содержащие значения вычисляемых величин, т. е. выполним процедуру отделения корней;

Проверим графически расположение корня, используя встроенные функции системы Mathematica:

• решим составленные уравнения с заданной точностью на соответствующих отрезках методом Ньютона по формуле (3):

Сравним исходное и число и полученный корень:

Видно что корни совпадают с учетом точности.

• вычислим искомое число с помощью стандартных функций пакета Mathematica:

Найдем численное выражение полученным корням:

Видно, что корень, найденный с помощью стандартных функций пакета Mathematica, совпадает с найденными выше корнями.

• проанализировав полученные результаты, сравнив с результатами, полученными с помощью стандартных функций, методом деления отрезка пополам, можно смело утверждать, что система Mathematica успешно справляется с поставленной задачей.

2.2. Исследование 2.

Решим уравнение

, выполнив следующие действия:

• определим отрезки, содержащие значения вычисляемых величин, т. е. выполним процедуру отделения корней:

Проверим:

• решим равнение с заданной точностью на соответствующих отрезках методом Ньютона по формуле (3):

• решим уравнение с помощью стандартных функций пакета Mathematica:

Видно что среди всех корней уравнения, найденных с помощью стандартных функций пакета Mathematic присутствует корень, равный найденному методом касательных.

Глава 3. Инструменты для работы над математическим текстом.

Как показывает уже не маленьких личный опыт, для набора математического текста лучше всего использовать систему LaTeX.

LaTeX – система верстки, ориентированная на производство научных математических документов высокого типографского качества. Система также вполне подходит для производства других видов документов, от простых писем до полностью сверстанных книг. LaTeX использует TEX в качестве своего механизма верстки.

TEX – это компьютерная программа, предназначенная для верстки текста и математических формул.

Каковы же преимущества LaTeX перед нормальными текстовыми редакторами? Перечислим основные из них:

· - Готовые профессионально выполненные макеты, делающие документы действительно выглядящими «как изданные».

· - Удобно поддержана верстка математических формул.

· - Пользователю нужно выучить лишь несколько понятных команд, задающих логическую структуру документа. Ему практически никогда не нужно возиться собственно с макетом документа.

· - Легко изготавливаются даже сложные структры, типа примечаний, оглавлений, библиографий и прочее.

· - Для решения многих типографских задач, не поддерживаемых напрямую базовым LaTeX, есть свободно распространяемые дополнительныепакеты.

· - LaTeX поощряет авторов писать хорошо структурированные документы, так как именно так LaTeX и работает – путем спецификации структуры.

· - TEX, форматирующее сердце LaTeX, чрезвычайно мобилен и свободно доступен. Поэтому система работает практически на всех существующих платформах.

· - LaTeX позволяет получить выходной файл в формате pdf, который стал стандартом de facto для научных статей.

Заметим, что в отличии от Microsoft Word LaTeX является чрезвычайно стабильной программой, не виснет и не так требователен к ресурсам. В Microsoft Word достаточно часто возникают проблемы с форматированием текста, оно ломается, или даже при печати текст выглядит совсем не так, как в процессе форматирования на компьютере. В LaTeX же таких проблем нет.

Глава 4. Основные результаты и их обсуждение.

Обсуждая результаты данной работы, во-первых, необходимо сказать о том, какой из рассмотренных компьютерных пакетов и систем я отдаю предпочтение в использованиии при проведении исследований в разрешимости нелинейных операторных уравнений и почему. Итак, анализируя возможности, специфику, достоинства и недостатки пакетов MathCad, Maple, MatLab и Mathematica, можно сказать, что пакет Mathematica наиболее универсален, а значит, и удобен, в частности для проведения исследований разрешимости нелинейных уравнений, поиска неподвижных точек многих операторов, постороения последовательных приближений. Действительно, для всей среды Mathematica нет единственного конкурента. Вообще говоря, конкуренты делятся на следующие группы: численные пакеты, системы компьютерной алгебры, приложения для набора текста и подготовки документации, графические и статистические системы, традиционные языки программирования (средства разработки интерфейсов) и электронные таблицы. С тех пор, как Mathematica впервые появилась, другие математические пакеты существенно расширили спектр собственных возможностей, первоначально они предназначались для решения задач, относящихся лишь к одной или двум вышеперечисленным категориям. Например, системы компьютерной алгебры научились решать задачи численно. Несмотря на это, Mathematica уникальна, потому что она неизменно объединяет все эти возможности. В частности, исследуя разрешимость нелинейных уравнений, которые зачастую тем или иным методом аппроксимируются некоторой вспомогательной линейной задачей, приходишь к выводу, что использование системы Mathematica наиболее уместно для исследований, так как этот пакет сконструирован Wolfram Research как система компьютерной алгебры, что влечет наличие сильной алгебраической основы в пакете, в то время как, например, пакет MatLab скорее предназначен для оперирования громоздкими матрицами.