зно математика 2007 с ответами (стр. 3 из 4)
Примітка.Враховуючи, що чинні підручники з математики для загальноосвітніх навчальних закладів по-різному тлумачать ситуацію, коли рівняння мають кратні корені, відповідь 8 також є правильною.
Розв’язання.
Знайдемо область визначення:
Рівняння
рівносильне сукупності рівнянь: 
звідси: 
Рівняння має чотири корені, з яких два рівні між собою. Корінь
не входить в область визначення. Тому 3+3+5=11.- Розв’яжіть систему рівнянь
Запишіть у відповідь добуток
, якщо пара 
є розв’язком вказаної системи рівнянь.Правильна відповідь :
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь, у яких одне рівняння показникове, а інше ─ логарифмічне.
- Середній вік одинадцяти футболістів команди становить 22 роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став 21 рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?
Правильна відповідь : 32.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Статистичні характеристики рядів даних: середнє значення випадкової величини.
- Обчисліть
Правильна відповідь : 4.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення логарифмічних виразів.
- Знайдіть найбільше ціле значення параметра а, при якому система рівнянь
має два розв’язки.Правильна відповідь : 1.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь з параметрами графічно.
- Знайдіть найбільше значення функції
на проміжку 
.Правильна відповідь : 2.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дослідження функції за допомогою похідної.
- Знайдіть найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння
має корені. Правильна відповідь :
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з параметрами.
- Сторона рівностороннього трикутника АВС дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний
добуток
.Правильна відповідь : 12,5.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Скалярний добуток векторів.
- Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на 50м3. Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру 15м×18м×25м?
Правильна відповідь : 405.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі прикладного змісту на знаходження об’єму фігур: об’єм прямокутного паралелепіпеда.
35. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2
см і нахилена під кутом 
до площини основи. Знайдіть об’єм піраміди.Правильна відповідь : 12
.Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму фігури, використовуючи теореми планіметрії: об’єм піраміди.
Частина 3
ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З РОЗГОРНУТОЮ ВІДПОВІДДЮ
36. У правильній чотирикутній піраміді SABCD (S – вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника SDC, проведеною з вершини D, та середньою лінією трикутника ASC, що паралельна основі піраміди.
Правильна відповідь : 
.
Розв’язання (авторський варіант)
Нехай SABCD – задана правильна піраміда, в основі якої лежить квадрат ABCD, і SOїї висота. Позначимо сторону основи АВ через а, тоді бічне ребро SA = 2a.
У трикутнику SDC з вершини D проведемо медіану DN, N – середина ребра SC. У трикутнику ASC проведемо середню лінію, паралельну AC. Вона перетинає ребра SA та SCу точках М та N відповідно, AM = MS та SN = NC (за означенням середньої лінії). Оскільки АС лежить у площині ABC і MN || AC, то MN || (ABC). Прямі MN та ND перетинаються в точці N, тому кут MND є шуканим кутом між медіаною DN трикутника SDC і середньою лінією MN трикутника ASC. Позначимо
.Діагональ АС квадрата АВСD дорівнює
, тому середня лінія MN = 
.Висота SO піраміди перетинає MN в точці L. Оскільки трикутники ASC і SMN є рівнобедреними, то АО = ОС і ML = LN =
.З прямокутного трикутника
.За теоремою Фалеса SL = LO =
SO = 
.З прямокутного трикутника
.Трикутник DNM рівнобедрений, оскільки DM = DN як медіани рівних трикутників SAD та SCD. Медіана DL є висотою. Отже, трикутник DLN є прямокутним.
З трикутника DLN маємо:
.Відповідь. .
Схема оцінювання
1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал.
2. За обгрунтування рівності двох сторін трикутника MND (DM=DN) учень одержує ще 1 бал.
3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN, необхідні для знаходження кута
, він одержує ще 1 бал.4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.
Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.
· Якщо учень не з’єднує точки М і Д на рисунку, а розглядає кут
як кут трикутника DLN, то в цьому випадку треба обґрунтувати, що трикутник DLN – прямокутний. Тоді має місце така схема оцінювання :1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал.
2. За обґрунтування того, що
учень одержує ще 1 бал.3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN, необхідні для знаходження кута
, він одержує ще 1 бал.4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.
Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.
· Якщо учень для розв’язування задачі використав векторно-координатний метод, то тоді має місце така схема оцінювання:
1. За правильне обґрунтування висоти SO учень одержує 1 бал.
2. За вибір системи координат з поясненням необхідних точок учень одержує ще 1 бал.
3. За обчислення координат цих точок учень одержує ще 1 бал.
4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.
Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.
37. Побудуйте графік функції 
.
Розв’язання
Знаходимо область визначення функції, тобто розв’язуємо нерівність
Отже, 
.