Сравнительный анализ численных методов (стр. 6 из 9)
Для построения глобального сплайна, т.е. сплайна с дефектом 1, необходимо начинать со второго узла, поставить условия непрерывности второй производной, т.е. вторая производная при подходе к точке 2 и дальше с лева (х1-0) должен равняться второй производной при подходе справа (х1+0). Такие равенства можем составить для всех внутренних узлов начиная с х1 до хn-1. Затем используем условия на края х0 и хn. Получим систему уравнений, которые и обеспечат дефект 1.
Очевидно, что при наличии S3 на соответствующих узлах, построение таких равенств не представляет особого труда.
Прировняв эти значения для определения m получим СЛАУ.
В двух крайних точках определяется i производных
Если функция задана ввиде таблиц, то для вычисления производныхиспользуеться результаты полученные при численном диференцировании порядок точности которых не ниже 3-ей степени.
2.3 Практическое применение метода интерполяции для решения уравнений
Для исследования была взята функция:
Выберем значения узлов на отрезке [b, b+2] интерполяции и найдем значения функции в узлах:
В качестве X1 возьмем точку между первым и вторым узлом:
Строим интерполяционный многочлен:
В качестве Х2 возьмем точку между четвертым и пятым узлом:
Строим интерполяционный многочлен:
Построим график функции и интерполяционного многочлена:
Рисунок 14 - График функции и интерполяционного многочлена
Данный результат очень близок к найденным раннее решениям, методом хорд, касательных и простых итераций и совпадает с ними. Используя эти же узловые точки проведем обратную интерполяцию и определим значение х при у=0.
2.4 Практическое применение кубического и глобального сплайна
Исследуем функцию:
; 
Дефект
Значение функции в этих точках:
Производная функции:
Значение производной в этих точках:
Используя формулу кубического сплайна получим:
Рисунок 15 - График функции и кубического сплайна
Используя формулу глобального сплайна получим:
Рисунок 16 - График функции и кубического и глобального сплайна
3. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи. Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики. Методы решения линейных уравнений делятся на две группы - прямые и итерационные. Прямые методы используют конечные соотношения для вычисления неизвестных. Они дают решение после выполнения заранее известного числа операций. Эти методы сравнительно просты и наиболее универсальны. Но вместе с тем эти методы имеют ряд недостатков. Как правило, они требуют хранения в оперативной памяти компьютера сразу всей матрицы, и при больших значениях расходуется много места в памяти. Существенным недостатком прямых методов является также накапливание погрешностей в процессе решения, поскольку вычисления на любом этапе используют результаты предыдущих операций.
Итерационные методы в этом отношении предпочтительнее. Они требуют хранения в памяти машины не всей матрицы системы, а лишь нескольких векторов с n компонентами. Погрешности окончательных результатов при использовании итерационных методов не накапливаются, поскольку точность вычислений в каждой итерации определяется лишь результатами предыдущей итерации и практически не зависит от ранее выполненных вычислений. К итерационным методам относят метод простой итерации, метод Зейделя.
3.1 Метод простой итерации
Этот метод широко используется для численного решения уравнений и их систем различных видов. Рассмотрим применение метода простой итерации к решению систем линейных уравнений.
Запишем исходную систему уравнений в векторно-матричном виде
и выполним ряд тождественных преобразований: 