Сравнительный анализ численных методов (стр. 9 из 9)

Рисунок - 19 Метод Эйлера

Геометрическая интерпретация метода Эйлера дана на рисунке. Изображены первые два шага, т.е. проиллюстрировано вычисление сеточной функции в точках

. Интегральные кривые 0,1,2 описывают точные решения уравнения . При этом кривая 0 соответствует точному решению задачи Коши, так как она проходит через начальную точку А (x₀,y₀). Точки B,C получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой 0 характеризуют погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную кривую. Отрезок АВ - отрезок касательной к кривой 0 в точке А, ее наклон характеризуется значением производной . Погрешность появляется потому, что приращение значения функции при переходе от х₀ к х₁ заменяется приращением ординаты касательной к кривой 0 в точке А. Касательная ВС уже проводится к другой интегральной кривой 1. таким образом, погрешность метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге приближенное решение переходит на другую интегральную кривую.

5.2 Модификация метода Эйлера:

усовершенствованный метод Эйлера

Рассмотрим уравнение

в окрестностях узлов . В левой части уравнения заменим производную центральной разностью

,

а правую часть оставим без изменений:

.

Приближенное значение функции

в точке вычислим с помощью метода Эйлера:

.

Выразим

из

,

заменив

его приближением :

Данный метод имеет второй порядок точности.

5.3 Практическое применение метода Эйлера

Исходное ОДУ:

y (1,8) =2,6,

Таблица 1. метод Эйлера (n=5)

i	xi	yi+1	f (xi,yi)	h*f (xi,yi)
0	1,8	3.0393624	2.1968119	0.4393624
1	2	3.4813579	2.2099777	0.4419955
2	2,2	3.9241350	2.2138853	0.4427771
3	2,4	4.3675167	2.2169085	0.4433817
4	2,6	4.8128840	2.2268365	0.4453673
5	2,8	5.2630132	2.2506461	0.4501292

Таблица 2. метод Эйлера (n=20)

i	xi	yi+1	f (xi,yi)	h*f (xi,yi)
0	1,8	2.7098405952	2.1968119048	0.1098405952
1	1,85	2.8199037007	2.2012621087	0.1100631054
2	1,9	2.9301422065	2.2047701167	0.1102385058
3	1,95	3.0405154109	2.2074640873	0.1103732044
4	2	3.1509890866	2.2094735145	0.1104736757
5	2,05	3.2615355030	2.2109283275	0.1105464164
6	2,1	3.3721334073	2.2119580866	0.1105979043
7	2,15	3.4827679715	2.2126912836	0.1106345642
8	2,2	3.5934307091	2.2132547518	0.1106627376
9	2,25	3.7041193685	2.2137731878	0.1106886594
10	2,3	3.8148378077	2.2143687841	0.1107184392
11	2,35	3.9255958562	2.2151609716	0.1107580486
12	2,4	4.0364091696	2.2162662661	0.1108133133
13	2,45	4.1472990802	2.2177982138	0.1108899107
14	2,5	4.2582924517	2.2198674293	0.1109933715
15	2,55	4.3694215376	2.2225817186	0.1111290859
16	2,6	4.4807238516	2.2260462796	0.1113023140
17	2,65	4.5922420502	2.2303639716	0.1115181986
18	2,7	4.7040238326	2.2356356483	0.1117817824
19	2,75	4.8161218599	2.2419605453	0.1120980273
20	2,8	4.9285936957	2.2494367159	0.1124718358

5.4 Практическое применение уточненного метода Эйлера

Таблица 3. метод Эйлера (n=5)

i	xi	yi	f (xi,yi)	h*f (xi,yi)
0	1,8	3.0408296	2.1968119	0.1098406
1	2	3.5034503	2.2093361	0.1104668
2	2,2	3.9875064	2.2040057	0.1102003
3	2,4	4.4928015	2.1891243	0.1094562
4	2,6	5.0193000	2.1754674	0.1087734
5	2,8	5.5671264	2.1759596	0.1087980

Таблица 4. метод Эйлера (n=20)

i	xi	yi	f (xi,yi)	h*f (xi,yi)
0	1,8	2.7099548	2.1968119	0.1098406
1	1,85	2.8213531	2.2012143	0.1100607
2	1,9	2.9341858	2.2041527	0.1102076
3	1,95	3.0484445	2.2057163	0.1102858
4	2	3.1641214	2.2060049	0.1103002
5	2,05	3.2812091	2.2051292	0.1102565
6	2,1	3.3997009	2.2032109	0.1101605
7	2,15	3.5195904	2.2003825	0.1100191
8	2,2	3.6408721	2.1967877	0.1098394
9	2,25	3.7635409	2.1925804	0.1096290
10	2,3	3.8875922	2.1879256	0.1093963
11	2,35	4.0130221	2.1829984	0.1091499
12	2,4	4.1398272	2.1779839	0.1088992
13	2,45	4.2680046	2.1730767	0.1086538
14	2,5	4.3975522	2.1684808	0.1084240
15	2,55	4.5284683	2.1644085	0.1082204
16	2,6	4.6607518	2.1610801	0.1080540
17	2,65	4.7944021	2.1587230	0.1079362
18	2,7	4.9294193	2.1575712	0.1078786
19	2,75	5.0658041	2.1578639	0.1078932
20	2,8	5.2035577	2.1598449	0.1079922

Поправка Ричардсона R_i для метода Эйлера:

-0.07065289342943

-0.13216188575150

-0.18444601911606

-0.26010250688842

-0.33631248297229

-0.41398824090458

Поправка Ричардсона R_i для метода Рунге-Кутта:

-0.07315885784

-0.15166859920

-0.23543241393

-0.32440371076

-0.41858637980

-0.51803478491

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы был проведен сравнительный анализ численных методов, таких как итерация, интерполяция, численное дифференцирование и интегрирование, а также метод Эйлера.

В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.

Для более глубокого анализа численных методов мы использовали средства MathCAD, а также алгоритмические языки программирования.

Список используемой литературы

1. Р.Ф. Хемминг "Численные методы (для научных работников и инженеров)". - Москва, 1972.

2. А.А. Амосов, А.Ю. Дубинский, Н.В. Копченова "Вычислительные методы для инженеров". - Москва, "Высшая школа", 1994.

3. Ф.В. Формалев, Д.Л. Ревизников "Численные методы". - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

4. Ю. Тарасевич "Численные методы на MathCAD’e". - Астраханский гос. пед. ун-т: Астрахань 2000.