2. Произведение ненулвого вектора а на число k называется такой вектор b , длинна которого равно |k|·|a|, причем вектор a и b сонаправлены при k≥ 0 и противоположно направлены при k<0. Произведением ненулевого вектора на любое число нулевой вектор. Произведение вектора а на число k обозначается так : ak. Для любого числа k и вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из этого определения следует , что произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор. Для любых векторов а и b и любых чмсел k, l справедливы равенства:
(kl)a= k(al) (сочетательный з-н)
k(a+b)=ka+kb(Ι-ый распределительный з-н)
(k+l)a=ka+la ( II-ой распределительный з-н)
отметим, что (-1)а является вектором противоположному вектору а, т.е. (-1)а = -а. Действитель-но, длины векторов (-1)а и а равны: |(-1)a| =|(-1)|×|а|=а. Кроме того , если вектолр а ненулевой , то векторы (-1) а и а противоположно направлены. Точно так же, как в планеметрии, можно диказать, что если векторы а и b коллинеарны и а¹0 , то существует число k такое, что b= ka.
Билет № 11
1. призма (формулировки , примеры)
2. Скалярное произведение векторов.
1. Призма. Рассмотрим два равных многоугольника А1А2.., Апи В1В2....Вп, расположенных в параллельных пл-тях а и р так, что отрезки А1В1 ,А2В2, ..., АпВп,соединяющие соответственные вершины мн-
ков, параллельны.Каждый из п 4-хугольников A1A2B2B1, А2А3В3В2, .... AnA1B1Bn является п-ммом, так как имеет попарно параллельные про-тивоположные стороны. Мн-к, составленный из 2 равных мн-ков А1A2...An и В1В2...Вп, расположенных в параллельных пл-тях, и n п-ммов наз призмой Мн-ки A1A2....An и B1B2...Bnназ основаниями, а п-ммы-бокоеыми гранялш призмы.От резки А1В1, А2В2 ..., АпВпназ бо-коеыми ребрами призмы. Эти ребра как противрпрложные стороны п-ммов последовательно приложенных друг к другу, равны в парал-лельны.Призму с основаниями A1A2....An и B1B2...Bnобозначают-A1A2....Аn В1В2...Вnи называют п-угольной призмой.4-ехугольная призма- параллелепипед.^, проведенный из какой-нибудь точки одного ос-нования к плоскости другого основания, называется высотой приз-мы. Если боковые ребра призмы ^к основаниям, то призма наз пря-мой, в противном случае –наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.Прямая при-зма называется пра-вильной, если ее основания — правильные мн-ки. У такой призмы все боковые грани -равные прямоугольники S полной поверхности. призмы называется сумма площадей всех ее граней, а S боковой поверхности призмы— сумма площа-дей ее боковых граней. Пло-щадь Sполн полной повер-хности выра-жается через площадь S6osбоко-вой поверхности и пло-щадь Sосн ос-нования призмы форму Sполн =S6oк+ 2Sосн.
2. Скакалярным произведением 2-ух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними Скал-ое произведение векторов а и b обозначают так :аb . Т. о. ab=|a|×|b|cos (ab). Скал-ое произведение вектора равно 0 тогда, когда эти векторы ^; скал-ый квадрат вектора(т.е скал-ое призведение вектора на себя) = квадрату его длинны.. Скал-ое произведение 2-ух векто-ров можно вычислить, зная координаты этих векторов:скал-ое произведение векторов а{x1;y1;z1} и b{x2;y2;z2}выражается формулой: аb= x1x2+y1y2+z1z2. Косинус Ða между ненулевыми вектора-ми а{x1;y1;z1} и b{x2;y2;z2} вычисляется формулой.
| соsa= | x1x2+y1y2+z1z2. | В самом деле, так как а b =|а|×|b|, то | cosa= | ab |
| √x12+y1²+z12⋅√ x22+y2²+z22 | |a|×|b| |
Подставив сюда выражения для ab, |а|и|b| через координаты векторов а и b получим эту формулу. Для любых векторов а,b и c и любого числа k справедливы равенства:
10.а2³) , причем а2>0 при а¹0
20.ab=ba(переместительный з-н)
30.(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н)
40.k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н)
Утверждения 1⁰-4⁰относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть , что распределительный з-н имеет место для любого числа слагаемых( (a+b+c)d=ad+bd+cd.)
Билет № 12
1. Прямая и правильная призма(формулировки примеры)
2. Существование плоскости , проходящей через данную прямую и данную точку.
1.Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то призма нвзывается прямой, в противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Прямая призма называется правильной, если ее основания- правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.
2. Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и приом только одна .
Д-во. Рассмотрим пр а и не лежащую на ней т М. Отметим на прямой а 2 точки Р и Н Точки М,Р и Н не лежат на одной прямой поэтому согласно аксиоме А1 через эти 3 точки проходит пл a. Т.к. 2 точки прямой РиН лежат в пл a., то по аксиоме А2 пл a.проходит через прямую а.Единственность пл, проходящай через прямую а и т М, => из того, что любая пл., проходящая через пр а и т М, проходит через т М, Р и Н .=>, она совпадает с пл a., т.к по аксиоме А1через 3 точки проходит только одна плоскость.
Билет № 13
1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед(формулировка примеры)
2. Теорема о боковой поверхности призмы.
1. Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется прямоугольник, если его боковые ребра ^к основанию, а основания представляют собой прямоугольники: коробки,
ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD A1B1C1D1.Его основаниями служат прямоугольники ABCD и A1B1C1D1a боковые ребра АА1, ВВ1, СС1и DD1 ^к основаниям. Отсюда=>, что АА1^АВ, т. е. боковая граyь АА1В1В — прямоуголь-ник. To же самое можно сказать и об остальных боковых гранях. Та-ким образом, мы обосновали следующее свойство прямоугольного параллелепипеда:
1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники. Полупл, в кот расположены смежные грани парал-
да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами параллелепипеда.
2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.
Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного парал-да. Например, у парал-да, можно взять длины ребер АВ, AD и АА1.Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника и поэтому можно сказать, что квадрат диагонали, прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.
2. Теорема:S боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Д-во. Боковая поверхность прямой призмы – прямоугольники , основания которых- стороны основания призмы, а высота равна h призмы. S боковой поверхности призмы равна сумме произведений указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания нв высоту h. Вынося множитель h за скобки получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е его периметр P. Итак Sбок=Ph
S=AB•h+BC•h+CA•h=h(AB+BC+CA)=Ph
Билет № 14
1. Пирамида(формулировка , примеры)
2. Существование прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.
1. Пирамида. Рассмотриммногоугольник А1А2…Аn и точку Р не лежащую в плоскости этого многоугольника . Соединив т. Р отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников РА1А1, РА2А3…,РаnА1.
Многоугольник, составленный из n –угольника А1А2…Аn и n тре-угольников , называетсяпирамидой. Многоугольник А1А2…Аn назы-вается основанием, а треугольники- боковыми гранями пирамиды. Т.Р называется вершиной пирамиды , а отрезки РА1,РА2, …, РАn– её боковыми ребрами . Пирамиду с основанием А1А2,…Аn и вершиной Р обозначают так: РА1А2…Аn –и называют n –угольной пирамидой. Треугольная пирамида называется тетраэдр. Перпендикуляр , проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания , называют высотойпирамиды (РН) Площадью полной поверхности пирамидыназывают сумму площадей её граней , а площадью боковой поверх-ности– сумму площадей её боковых граней
2. Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.
Д-во. Рассмотрим прямую aи т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит
пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая через т М параллельно прямой а. Теорема доказана.