Билет № 3
1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
2. Объем призмы.
1.Три случая расположения прямой и плоскости.
1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку aÈA
2.Прямая лежит в плоскости а значит имеет с ней 2 общие точки.
1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т.е.a÷ïa
2.Теорема:Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.
Д-во: Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА1В1С1с объемом V и высотой h.
Проведем такую высоту ∆АВС (ВD) кот. разделит этот ∆на 2 ∆. Поскольку ВВ1D разделяют данную призму на 2 призмы , основания кот является прямоугольный ∆ABD и ВСD. Плэтому объем V1и V2соответственно равны SABD ·h и SВСD ·h. По св-ву 20 объемов V=V1+V2т.е V= SABD ·h+ SВСD ·h= (SABD+ SВСD) h. Т.о. V=SАВС·h
Д-во Возьмем произвольную прямую призму с высотой h и площадью основания S. Такую
призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению Sh. Теорема доказана.
Рассмотрим случай , когда призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные призмы. Так как Sпол = 1//2ab то S∆=ab =>V∆= Sh ч.т.д.
Билет №5
1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)
2. Объем цилиндра.
1.Рассмотрим пл αи т А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А прямую,^ к пл α, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл α .Отрезок АН называется,^ проведенным из
т А к пл α, a т Н— основанием ^. Отметимв пл αкакую-нибудь т М,отличную от Н, и проведем отр AM.Он называется наклонной, про-вед из т А к пл α, а т М — основанием наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на пл α. Сравним ^АН и наклон-ную AM: в прямоугольном ∆АМН сторона АН — катет, а сторона AM - гипотенуза, поэтому АН<АМ. Итак, ^, проведенный аз данной т к пл, меньше любой наклонной, проведенной из той же т к этой пл.
=> из всех расстояний от т А до различных т пл αнаименьшим является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина ^, проведенного из т А к пл α , называется расстоянием от т A до пл α
Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.
2.Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму Fnа в
эту призму впишем цилиндр Рп . Обозначим через V и Vnобъемы цилиндров Р и Рп, через rп — радиус цилиндра Рп. Так как объемпризмы Fn равен Snh, где Sn- площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn , кот в свою очередь , содержит цилиндр Рп , тоVn<Snh<V. Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радиус rп цилиндра Рп стремиться к радиусу r цилиндра Р(rп=rcos180/n®r при r→∞). Поэтому V цилиндра Рп стремиться к объему цилиндра Р: limVn=V. Из равенства (Vn<Snh<V) =>, что
n→∞
limSnh=V. Но limSn=πr2 Т.о V=πr2h.т.к πr2=S ,то получим V=Sоснh.
n→∞ n→∞
Билет № 6
1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)
2. Объем конуса.
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью , проходящей через другую прямую параллельную первой , называется расстояни6е между скрещивающимися прямыми.
Если две прямые скрещиваются то через каждую из них проходит плоскость параллельная другой прямой , и при том только одна.
2 Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Д-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высо-той h и вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ). Произвольное сечение конуса пл. , ^ к оси Ох , является кругом с центром в т М1 пересе-чения этой пл. с осью Ох. Обозначим радиус через R1 ,а S сечения через S(х) , где х – абсцисса т М1 . Из подобия прямоугольных ∆ ОМ1А1 и ОМА=> что
| ОМ1 | = | R1 | , или | x | = | R1 | откуда | R= | xR | так как | S(x)= pR12 | ,то | S(x)= | pR2 |
| ОМ | R | h | R | h | h2 |
Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=0, получим
| h | h | h | ||||||||||
| V= | ∫ | πR2 | x2dx= | πR2 | ∫ | x2dx= | πR2 | × | x3 | ½= | 1 | πR2 h |
| h2 | h2 | h2 | 3 | 3 | ||||||||
| 0 | 0 | 0 | ||||||||||
Площадь S основания конуса равна pR2, поэтому V=1/3Sh.
Следствие. Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь оснований S и S1вычисляется по формулеV=1/3h(S·S1+√ S·S1).
Билет №7
1. Угол между скрещивающимися прямыми
2. Площадь боковой поверхности цилиндра.
1. Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые . Возьмем произвольную т. М1 пространства и проведем через нее прямые А1В1 и С1D1 , соответственно параллельн АВ и СD
Если ∠ между прямыми А1В1 и С1D1 =φ, то будем говорить , что∠ между скрещивающимися прямыми АВ и СD=φ. Докажем теперь, что∠ между прямыми не зависит от выбора т. М1 . Действительно , возьмем любую т. М2 и проведем прямые А2В2и С2D2 соответственно парал. АВ и СD Т.к А1В1∥ А2D2 , С1D1∥ C2D2, то стороны углов с вершинами в т.М1и М2 попарно сонаправлены( ∠А1М1С1 и∠А2М2С2, ∠А1М1D1и∠А2М2D2 ) потому эти ∠ равны, ⇒что∠ между А2В2и С2D2так же =φ. В качестве т М можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых . Например на СD отметить т М и через нее провести А'B' параллельные АВ .Угол между прямыми A'B'и CD= φ
2. Терема: S боковой поверхности цилиндра равна произведению длинны окружности основания на высоту
Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и развернем т.о , что все образующие оказались в одной плоскости α . В результате в пл α получится прямоугольник АВВ'А' . Стороны АВ и А'В' –два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ . Это прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра . основание АА' прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра , поэтому АА'=2πr , AB-h, где г- радиус цилиндра , h- его высота . за S бок цилиндра принято считать S её развертки . Т.к S прямоугольника АВВ'А'= АА'•ВА = 2πr•h то, для вычисления S бок цилиндра радиуса к и высоты h формула
S бок=2πrh
Билет № 9
1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры)
2. Сложение векторов. Свойства сложения.
2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b .Отложим от какой-нибудь т А вектор АВ равный а. Затем от т В отложим ВС=b. Вектор АС называется суммой векторов а и b: АС=a+b.
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. (по этому же правилу складываются и коллинеарные векторы , хотя при их сложении треугольника не получается) Сумма a+b не зависит от выбора т А, от которой при сложении откладывается вектор а. (если например заменить т А на т А1 то вектор АС заменится равным ему вектором А1С1Привило треугольника можно сформулировать и в другой форме: для любых точек А,В,и С имеет место равенство АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных векторов можно пользоваться так же правилом параллелограмма.Для любых векторов а, b и с справедливы равенства:a+b=b+a (перемести-тельный з-н.);(a+b)+с=а+(b+с)(сочетательный з-н). Два нулевых вектора называются противоположными, если их длины равны нулю и они противоположно направлены.Вектором проти-оположным нулевому вектору , считается нулевой вектор. Вектр АВ является проти-воположным вектру ВА
Билет № 10
1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.( формулировки , примеры)
2. Умножение вектора на число . Св-ва произведения вектора на число.
1. Двугранным углом называют фигуру , образованную прямой а и 2-мя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол , называются его гранями.
У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая а – общая граница полуплоскостей- называется ребром двугранного угла. Для измерения двугранного угла отметим на ребре какую-нибудь т. и в каждой грани из этой точки проведем перпендикуляр к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейный угол двугранного угла. (ÐАОВ ) ОА^CD CD^ОВ, то плоскость АОВ ^ к прямой СD. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов и они равны друг другу. Рассмотрим 2 линейных ÐАОВ и ÐА1О1В1 . Лучи ОА и О1А1 лежат в одной грани ^к ОО1, поэтому они сонаправлены. Точно так же сонаправлены ОВ и О1В1=> Ð А1О1В1 =ÐАОВ. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла . Он может быть прямым , острым, тупым ( 90°, <90°, >90°)