Задача Лагранжа (стр. 2 из 7)

Многие задачи оптимизации формулируются следующим образом. Решение, которое должен принять субъект, описывается набором чиселх1,х2,…,хn (или точкой Х=(х1,х2,…,хn) n-мерного пространства). Достоинства того или иного решения определяются значениями функция f(X) = f(х1, х2,…,хn) — целевой функции. Наилучшее решение — это такая точка Х, в которой функция f(Х) принимает наибольшее значение. Задача нахождения такой точки описывается следующим образом:

f(X) ® max.

Если функция f(X) характеризует отрицательные стороны решения (ущерб, убытки и т. п.), то ищется точка Х, в которой значение f(X) минимально:

f(X) ® min.

Минимум и максимум объединяются понятием экстремума. Для определенности мы будем говорить только о задачах максимизации. Поиск минимума не требует специального рассмотрения, поскольку заменой целевой функции f(X) на -f(Х) всегда можно “превратить недостатки в достоинства” и свести минимизацию к максимизации.

Из каких вариантов должен быть выбран наилучший? Иными словами, среди каких точек пространства нужно искать оптимум. Ответ на этот вопрос связан с таким элементом оптимизационной задачи, как множество допустимых решений. В некоторых задачах допустимыми являются любые комбинации чисел х1, х2,…,хnто есть множество допустимых решений - это все рассматриваемое пространство.

В других задачах следует принимать во внимание различные ограничения, означающие, что не все точки пространства доступны при выборе. В содержательных постановках задач это может быть связано, например, с ограниченностью располагаемого количества ресурсов.

Ограничения могут быть представлены в форме равенств вида

g(X) = О

или неравенства

g(X) ³ О.

Если условия имеют несколько другую форму, скажем, g1(Х) = g2(X) или g(X) £ A, то их можно привести к стандартному виду, перенеся в функции и константы в одну из частей равенства или неравенства.

Экстремум, отыскиваемый во всем пространстве, без каких-либо ограничивающих условий, носит название безусловного. Если целевая функция непрерывно дифференцируема, то, необходимое условие безусловного экстремума функции состоит в равенстве нулю всех ее частных производных:

Если же заданы ограничения, то экстремум ищется лишь среди точек, которые удовлетворяют всем ограничениям задачи, так как только такие точки являются допустимыми. В этом случае экстремум носит название условного.

Рассмотрим задачу поиска условного экстремума:

f(X) ®max

при условиях (2)

g1(Х) = 0; g2(Х) = 0, …, gn(Х) = 0,

все ограничения которой представляют собой равенства.

Если при этом целевая функция и все ограничивающие функции непрерывно дифференцируемы, то такую задачу мы будем называть задачей Лагранжа.

3. Задача Лагранжа с одним ограничением

Рассмотрим задачу, имеющую следующую структуру:

f(X) ® max

при условии (3)

g(X) = 0.

Рассмотрим пример. По склону горы идет дорога, требуется найти на ней самую высокую точку. На рис. 1 представлена карта местности с нанесенными на нее линиями

Рис. 1

равных высот; толстая линия – это дорога. Точка М, в которой дорога касается одной линий уровня, - это и есть наивысшая точка дороги.

Если Х = (х1, х2) – точка плотности, х1и х2– её координаты, то задаче можно придать следующую форму. Пусть f(Х) — высота точки Х над уровнем моря, а уравнение g(X) = 0 описывает дорогу. Тогда наивысшая точка дороги - решение задачи (3).

Если бы дорога проходила через вершину горы, то ее высшая точка была бы самой высокой точкой местности, и ограничение можно было бы не принимать во внимание.

Если же дорога не проходит через вершину, то, немного отклонившись от дороги, можно было бы подняться выше, чем двигаясь строго по дороге. Отклонение от дороги соответствует попаданию в такие точки, где g(X) ¹ 0; при малых отклонениях достижимую при этом высоту можно приближенно считать пропорциональной отклонению.

Идею решения задачи Лагранжа можно представить следующим образом: можно попытаться “исправить” рельеф местности так, чтобы отклонение от дороги не давало преимуществ в достижении высоты. Для этого нужно заменить высоту f(Х) функцией.

L(X) = f(X) - lg(Х),

где множитель l подбирается таким образом, чтобы участок склона в окрестности точки М стал горизонтальным (слишком малое l не устранит преимуществ отклонений от дороги, а слишком большое – придаст преимущество отклонениям в противоположную сторону).

Теперь, поскольку рельеф L(X) делает площадку в окрестности точки оптимума горизонтальной, эта точка удовлетворяет равенствам

а так как точка лежит на дороге, то – и ограничению g(X) = 0.

рис.2

Пример с горой и дорогой — лишь иллюстрация идеи; точно так же двумерный случай использован исключительно для наглядности. Подобным образом можно было бы рассуждать и в общем, n-мерном случае.

Справедливо следующее утверждение:

Если f(х1,…,хn) и g(х1,…,хn) - непрерывно дифференцируемые функции всех своих аргументов, то решение задачи

f(х1,…,хn) ®max

при условии

g(х1,…,хn) = 0

удовлетворяет равенствам

где

L(х1,…,хn;l) = f(х1,…,хn) — lg(х1,…,хn).

Функция L(X; l) получила название функции Лагранжа (или лагранжиана) задачи (3), а коэффициент l — множителя Лагранжа.

Заметим, что равенство (5) — это представленное в другой форме ограничение g(Х) = 0.

Приведенные выше рассуждения, разумеется, не являются доказательством сформулированного здесь утверждения; они лишь помогают понять существо метода: составляющая lg(Х) в составе функции Лагранжа должна уравновешивать возможное увеличение максимального значения функции g(Х) от нуля. Это обстоятельство в дальнейшем будет весьма полезно при обсуждении смысла множителя Лагранжа.

Рассмотрим чрезвычайно простой пример. Веревкой длины А требуется огородить на берегу моря прямоугольный участок наибольшей площади (берег считается прямолинейным).

Рис.3

к задаче Дидона

Обозначим стороны прямоугольника х1 и х2 (см. рис. 3). Решим сначала задачу без использования метода Лагранжа.

Очевидно, х2 = А - 2 х1 и площадь прямоугольника равна S = х1х2 = x1(А - 2х1). Рассматривая ее как функцию одного аргумента х1, нетрудно найти его значение, при котором площадь максимальна: х1 = А/4. Отсюда х2 = А/2. Максимальная площадь равна S* = А²/8.

Теперь рассмотрим эту же задачу в форме задачи Лагранжа:

х1х2 ®max

при условии

2 х1 + х2 - А = 0

Лагранжиан этой задачи равен

L(х1,х2;l) = х1х2 - l(2х1+ х2 - А),

и условия экстремума имеют вид

так что

х2 = 2l

х1 = l

2 х1 + х2= А

Подставляя значения х1 и х2 из первого и второго равенств в третье, находим, что 4l = А, откуда

l = А/4; х1= А/4; х2=А/2,

как и при решении первым способом.

Этот пример показывает распространенный способ решения задачи Лагранжа. Соотношения (4) и (5) образуют систему уравнений относительно х1,…,хn и l,. Система состоит из n + 1 уравнения - n уравнений вида (4) и одно уравнение вида (5). Число уравнений равно числу неизвестных. Из уравнений вида (4) можно попытаться выразить каждую из неизвестных х1,…,х2 через l, то есть решить ее как систему из n уравнений, рассматривая l как параметр. Подставляя получившиеся выражения в уравнение (5) – нам известно, что оно совпадает с ограничением, - получаем уравнение относительно l. Решая его, находят l, после чего определяются исходные неизвестные х1,…,хn.

4. Смысл множителей Лагранжа

При решении задачи Лагранжа мы интересовались значениями х1,…,хn; кроме того, нас могло интересовать экстремальное значение целевой функции f(X). Но в процессе решения попутно было определено значение еще одной величины - множителя Лагранжа.

Оказывается, множитель Лагранжа — весьма существенная характеристика решаемой задачи. Чтобы смысл ее стал яснее, несколько изменим формулировку ограничения, ничего не изменяя по существу.

Типичная экономическая ситуация характеризуется тем, что приходится искать наиболее выгодное решение при ограниченном количестве некоторого ресурса. Если r - заданное количество ресурса, а функция h(X) характеризует потребное его количество для достижения точки Х, то ограничению естественно придать форму

h(X) £ r.

По характеру задачи часто бывает ясно, что для достижения оптимума ресурс нужно использовать полностью, так что ограничение может быть записано в виде равенства

h(X) = r. (6)

Это условие можно представить в форме g(X) = h(Х) - r = 0. Но значительный интерес представляет максимально достижимый уровень функции f(x) в зависимости от имеющегося количества ресурса r. Обозначим

F(r) = max {f(X) | h(X) = r}.

В правой части - принятое обозначение условного экстремума: после вертикальной черты выписывается условие.

Вспомним, что при обсуждении структуры лагранжиана мы интерпретировали lg(Х) как составляющую, уравновешивающую возможный прирост максимума f(X) при отклонении g(X) от нуля. Но отклонение g(X) от нуля есть отклонение h(Х) от r. Если располагаемое количество ресурса получает приращение Ùr, то мы должны ожидать приращение максимума функции f(X) на lÙr.