Задача Лагранжа (стр. 6 из 7)
Условия оптимума выражается системой
или
Итак, предельные полезности различных благ в точке оптимума пропорциональны удельным затратам времени. Это значит, что для любой пары благ (i, j) отношение их предельных полезностей равно отношению удельных затрат времени:
А отсюда следует, что дополнительная малая порция времени (скажем, минута), затрачиваемая на любое из благ, дает один и тот же прирост полезности.
Величина этого прироста, определяется коэффициентом l: если Робинзон сможет выделить на потребление благ дополнительно ÙТ единиц времени, то общая полезность возрастет при этом на величину
ÙTU»lÙT. (40)
Заметим, что убывание предельной полезности гарантирует единственность оптимума. Если взять другие значения хi, (обозначим их хi'), также удовлетворяющие условиям, пропорциональности предельных полезностей удельным затратам времени:
MUi(xi') = li' ti
то либо l’ >l, тогда xi' <xi. для всех продуктов (предельная полезность убывает с ростом xi); либо l’ < l - для всех i. В первом случаи потребное количество времени меньше Т, во втором – больше, но ни в одном из них не ограничений будет выполнено.
Попутно отметим следующее обстоятельство. Система уравнений (40) определяет наилучший набор благ при любом фиксированном количестве Т выделенного времени; с величиной Т связано лишь численное значение l. Считая величину Т переменной, введем как в предыдущем пункте, функцию.
которую можно трактовать как общую полезность времени. Это – “вторичная” полезность: её величина определяется максимальной полезностью набора благ, достижимой при данном количестве выделенного времени. Точный смысл приближенного равенства (31) состоит в том что
то есть l - предельная полезность времени для Робинзона.
Как мы только что видели, сравнивая l и l' для различных наборов благ, чем больше Т, тем меньше l. Поскольку природа выделяемого ресурса несущественна, мы можем сделать следующий общий вывод:
если предельная полезность каждого блага снижается с ростом объема его потребления, а затраты ресурса пропорциональны объему, то предельная полезность ресурса падает с увеличением количества используемого ресурса.
Проиллюстрируем эти результаты числовым примером. Допустим, что Робинзон потребляет 3 вида благ, причем все частные функции полезности имеют один и тот же вид
с различными коэффициентами ai. Он может выделить на потребление 15 часов в сутки; остальные данные приведены в таблице:
| t | ai | ti |
| 1 | 50 | 1 |
| 2 | 100 | 2 |
| 3 | 50 | 2 |
Воспользуемся системой (30):
Отсюда
Подставим числовые значения известных параметров:
Используем теперь ресурсное ограничение:
откуда l = 200 / (15 + 5) = 10. Теперь найдем количество каждого блага:
Остальные результаты расчета приведены в таблице:
| i | xi | tixi | TUi |
| 1 | 4 | 4 | 80,5 |
| 2 | 4 | 8 | 160,9 |
| 3 | 1,5 | 3 | 45,8 |
| å | 15 | 287,2 |
9. Взаимные экстремальные задачи
Задачу Лагранжа с одним ограничением можно было бы записать в следующей форме:
f(X) – c®max
при условии (41)
h(X) = r.
Вычитание константы с из целевой функции не изменяет положения оптимума. Лагранжиан этой задачи:
L(X; l) = f(X) - с - l[h(X) - r],
а условия оптимума имеют вид
Рассмотрим теперь задачу, в которой целевая и ограничивающая функции поменялись ролями:
h(X) – r ® min
при условии (43)
f(X) = с.
Для новой задачи лагранжиан равен
L1(Х; m) = h(Х) - r - m[f(X) - с],
а условие оптимальности –
Задачи (41) и (43) называют взаимными по отношению друг к другу. Если, например, исходная задача состояла в максимизации полезности некоторого набора продуктов при заданном ресурсном ограничении, то взаимная задача состоит в минимизации расхода ресурса при обеспечении заданного уровня полезности.
Сравнение равенств (42) и (43) показывает, что условия оптимальности у обеих задач одни и те же: достаточно положить m = 1/l, чтобы в этом убедиться. Если l - предельная полезность ресурса, то m можно было бы назвать “предельной ресурсоемкостью полезности”.
10. Модель потребительского выбора
Перейдем к рассмотрению рационального потребительского выбора в пространстве благ с теми же отношениями предпочтения. Введем в рассмотрение функцию полезности u(Х), согласованную с предпочтениями данного потребителя: u(Х) > u(у) тогда и только тогда, когда Х ý У. Функцию u(Х) будем считать непрерывно дифференцируемой.
При этих допущениях моделью потребительского оптимума служит задача Лагранжа
u(Х) ®max
при условии
å рiхi= m,
где рi- цена i - го блага, а m - денежный доход потребителя. Условия оптимальности имеют вид
Введем для удобства обозначение
и представим условия оптимальности в форме 
Формально эта система похожа на систему (39), описывающую оптимальность в задаче о рационе Робинзона. Но здесь имеются и существенные отличия. Во-первых, теперь мы отказались от предположения о суммируемости полезностей различных благ, и ui, - не производные полезностей отдельных благ, а лишь частные производные общей функции полезности. Во-вторых, u(Х) - это не полезность в некоторой абсолютной количественной шкале, а лишь функция, согласованная с предпочтениями и отражающая только порядковые отношения. Тем не менее, перечень аналогичных свойств можно продолжить. Для любой пары благ (i, j) в точке оптимума должны выполняться соотношения
Отметим, что выражение в левой части — это норма замещения i-го блага j-м при постоянстве объемов всех остальных благ: в пределах поверхности безразличия должно выполняться равенство
то есть
Как мы уже выяснили, значение множителя Лагранжа должно выражать предельную полезность лимитирующего ресурса, в данном случае - денежного дохода (или, проще, - предельную полезность денег). Но поскольку значения функции u(Х) не являются абсолютными значениями полезности, постольку и полная полезность денег
имеет смысл лишь по отношению к выбранной шкале полезностей. То же относится и к предельной полезности денег.
Что произойдет, если функцию полезности u(Х) заменить равносильной ей функцией u*(Х)? Отношение предпочтения сохранится, если u*(Х) = j(u(Х)), где j(u) - монотонно возрастающая функция. Правило дифференцирования сложной функции позволяет утверждать, что
где j'(u) - значение производной dj (u)/du. Заметим, что множитель j(u) является одним и тем же для всех благ. Поэтому условия оптимальности
ui(Х) = lpi
и
ui(Х) = l рi
определяют одно и то же положение потребительского оптимума в пространстве благ. Различаются лишь значения множителей Лагранжа:
l = j'(u)l (47)
К этому результату можно подойти с другой стороны. Задавшись некоторым значением m дохода, при использовании функций u(Х) и u*(Х) мы получим один и тот же оптимальный набор благ Х0 . Общая полезность денег в одной шкале примет значение U(m) = u(Х0), в другой
. Таким образом, при любом уровне доходаU'(m) = j(U(m)), (48)
то есть общие полезности дохода в разных шкалах связаны между собой точно так же, как и полезности наборов благ. А так как множитель Лагранжа в рассматриваемой задаче - это предельная полезность денежного дохода, то, применяя к равенству (48) правило дифференцирования сложной функции, мы снова придем к равенству (47).
Заметим, что оптимум потребителя не всегда может быть определен в рамках задачи Лагранжа. Множество допустимых решений ограничено не только бюджетом потребителя, но и условиями неотрицательности объемов благ: