Интеграл Лебега (стр. 3 из 7)
Выберем какую-нибудь определенную верхнюю сумму S0. Так как для всякой нижней суммы sбудет s£S0, то множество {s} всех нижних сумм Лебега оказывается ограниченный сверху. Пусть Uесть его точная верхняя граница U = sup{s}.
Тогда, ясно, что
U£S0.
Ввиду произвольности суммы S0, последнее неравенство доказывает, что множество {S} всех верхних сумм Лебега ограничено снизу. Назовем через Vего точную нижнюю границу
V = inf{S}.
Очевидно, при любом способе дробления будет
S £ U £ V £ S.
Но, как мы отмечали, S – s£lmE, откуда
0 £V – U£lmE
и, так как lпроизвольно мало, то
U = V.
Определение. Общее значение чисел Uи Vназывается интегралом Лебега функции f(x) по множеству Е и обозначается символом
(L) 
В тех случаях, когда смешение с другими видами интеграла исключено, пишут просто
В частности, если Е есть сегмент [а, b], употребляют символы
(L) 
Из сказанного выше следует, что каждая измеримая ограниченная функция интегрируема в смысле Лебега, или, короче, интегрируема (L). Уже из этого замечания видно, что процесс интегрирования (L) приложим к гораздо более широкому классу функций, чем процесс интегрирования (R). В частности, совершенно отпадают все вопросы, связанные с признаками интегрируемости, которые для интегралов (R) имеют сравнительно сложный характер.
Теорема 1.Если l® 0, то суммы Лебега s и S стремятся
к интегралу
Теорема непосредственно вытекает из неравенств
S £ 
£ S, S – s £l× mE.
Из этой теоремы, между прочим, следует, что значение интеграла Лебега, которое в силу самого определения его связано с числами А и В, насамом деле от них не зависит.
Действительно, допустим, что
A < f(x) < В, A < f(x) <B*,
причем В* < В. Раздробим сегмент [А, В] на части
A = у0 < у1 < ¼ < yn= В,
причем включим и точку В* в число точек деления В* = ут.
Если мы составим множества ek, то легко убедиться, что
ek = 0(k ³ m).
Значит,
s = 
= 
= s*,
где s* есть нижняя сумма Лебега, построенная, исходя из сегмента [А, В*]. Сгущая точки дробления и переходя к пределу, найдем, что
I = I*,
где I и I* суть значения интегралов Лебега, отвечающие сегментам [А, В] и [А, В*]. Таким образом, изменение числа В не отражается на величине интеграла. То же относится и к числу А. Этот факт весьма существенен, ибо только теперь определение интеграла оказывается освобожденным от случайного характера выбора точек А и В.
3. Основные свойства интеграла
В этом параграфе мы установим ряд свойств интеграла от ограниченной измеримой функции.
Теорема 1. Если измеримая функция f(x)на измеримом множестве Е удовлетворяет неравенствам a£f(x) £b, то
a× mE £ £ b× mE.
Это теорема обычно называется теоремой о среднем.
Доказательство. Пусть n натуральное число. Если мы положим
A = a - 
, B = b + ,
то окажется, что
A<f(x) <B,
и суммы Лебега можно будет составлять, дробя сегмент [А, В].
Но еслиA£yk£B, то, очевидно,
A 
£ £B
или, что то же самое,
A× mE £ s £ B× mE,
откуда и в пределе
mE£ £ 
mE.
В силу произвольности числа n, теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий.
Следствие 1.Если функция f(x) постоянна на измеримом множестве Е и f(x) = с, то
= c×mE.
Следствие 2.Если функция f(x) не отрицательна (не положительна), то таков же и ее интеграл.
Следствие 3.Если тЕ =0, то для любой ограниченной функции f(x), заданной на множестве Е, будет
= 0.
Теорема 2. Пусть на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f(x). Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества попарно не пересекающихся измеримых множеств
E = 
(Ek 
= 0, k ¹ k’),
то
= 
Свойство интеграла, выражаемое этой теоремой, называется его полной аддитивностью.
Доказательство. Рассмотрим сначала простейший случай, когда число слагаемых равно двум
Е = 
+ 
( = 0).
Если на множестве Е
A < f(x) < B
и мы, раздробив сегмент [А, В] точками у0, y1,¼, уn, составим множества
ek = E(yk £ f < yk+1),
ek’= E’(yk £ f < yk+1),
ek’’= E’’(yk £ f < yk+1),
то, очевидно, будем иметь
ek = ek’ + ek’’ (ek’ek’’ = 0),
откуда
= 
+ 
н в пределе, приl® 0,
= 
+ 
Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств. Пользуясь методом математической индукции, мы легко распространим теорему на случай любого конечного числа слагаемых множеств.
Остается рассмотреть случай, когда
E = 
.
В этом случае
= mE,так что при n®¥будет
® 0. (*)Заметив это, положим
= Rn.Так как для конечного числа слагаемых множеств теорема уже доказана, то
= 
+ 
.В силу теоремы о среднем
A× mRn£ 
£ B× mRn,
а в силу (*) мера mRn множества Rn стремится к нулю с возрастанием n, откуда ясно, что
® 0.Но это и означает, что