Интеграл Лебега (стр. 5 из 7)
С другой стороны, опять-таки в силу теоремы о среднем,
£smBn(s) £smE.
Сопоставляя это с (3), находим, что
£ 2K× mAn(s) + smE. (4)Заметив это, возьмем произвольное e > 0 и найдем столь малое s> 0, что
s×mE< 
.
Фиксировав это s, мы, на основании самого определения сходимости по мере, будем иметь, что при n®¥
mAn(s) ® 0
и, стало быть, для n > N окажется
2K×mAn(s) < .
Для этих nнеравенство (4) примет вид
<e,что и доказывает теорему.
Легко понять, что теорема остается верной и в том случае, когда неравенство
<Kвыполняется только почти везде на множестве Е. Доказательство остается прежним.
Далее, поскольку сходимость по мере общее обычной сходимости, то теорема и подавно сохраняет силу для того случая, когда
fn(x) ® F(x)
почти везде (и тем более везде).
5. Сравнение интегралов Римана и Лебега
Пусть на сегменте [а, b] задана (не обязательно конечная) функция f(х). Пусть
x0Î[a, b] и d > 0. Обозначим через md(x0) и Мd(х0) соответственно точную нижнюю и точную верхнюю границы функции f(x) наинтервале (х0 - d, x0 + d)
md(x0) = inf{f(x)}, Md(x0) = sup{f(x)} (х0 - d<x<x0 + d).
(Само собою разумеется, что мы принимаем во внимание лишь те точки интервала
(х0 - d, x0 + d), которые лежат также и на сегменте [а, b].)
Очевидно,
md(x0) £f(x0) £Md(x0).
Если d уменьшается, то md(x0) не убывает, aMd(x0) не возрастает. Поэтому существуют определенные пределы
m(x0) = 
md(x0), Md(x0) = Md(x0),
причем, очевидно,
md(x0) £m(x0) £f(x0) £M(x0) £Md(x0).
Определение.Функции т(х) и М(х) называются соответственно нижней и верхней функциями Бэра для функции f(x).
Теорема 1 (Р. Бэр). Пусть функция f(х) конечна в точке х0. Для того чтобы f(x) была в этой точке непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы было
m(x0) = M(x0). (*)
Доказательство. Допустим, что функция f(х) непрерывна в точке x0. Взяв произвольное e > 0, найдем такое d > 0, что как только
<d,
так сейчас же
<e.
Иначе говоря, для всех х Î(х0 - d, x0 + d) будет
f(x0) - e< f(x) < f(x0) + e.
Но отсюда следует, что
f(x0) - e£ md(x0) £ Md(x0) £ f(x0) + e,
а стало быть, и тем более
f(x0) - e£ m(x0) £ M(x0) £ f(x0) + e,
откуда, ввиду произвольности e, и вытекает (*). Итак, необходимость условия (*) доказана.
Пусть теперь, обратно, дано, что (*) выполнено. Тогда, очевидно,
m(x0) = M(x0) = f(x0)
и общее значение функций Бэра в точке x0 конечно.
Возьмем произвольное e > 0 и найдем столь малое d > 0, что
m(x0) - e<md(x0) £m(x0), M(x0) £Md(x0) <M(x0) + e.
Эти неравенства означают, что
f(x0) - e< md(x0), Md(x0) < f(x0) + e.
Если теперь xÎ (х0 - d, x0 + d), то f(x) лежит между md(x0) и Md(x0), так что
f(x0) - e< f(x) < f(x0) + e.
Иначе говоря, из того, что
<d вытекает, что <e,
т. е. функция f(x) непрерывна в точке х0.
Основная лемма. Рассмотрим последовательность дроблений сегмента [а, b]
a = 
< 
<¼< 
= b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a = 
< 
<¼< 
= b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
причем при i®¥
li = max[ 
- 
] ® 0.
Пусть 
есть точная нижняя граница значений функции f(x) на сегменте
[ , ].Введем функцию ji(x), полагая
ji(x)= при xÎ ( , )
ji(x) = 0 при x = , , ¼ , .
Еслих0 не совпадает ни с одной точкой (I = 1, 2, 3, ¼ ; k = 0, 1, 2, ¼ , ni), то
ji(x0) = m(x0).Доказательство. Фиксируем какое-нибудь iи назовем через [ 
, 
] тот из сегментов i-го способа дробления, который содержит точку х0. Так как х0 не совпадает ни с одной из точек деления, то
<x0<
и, следовательно, при достаточно малых d > 0 будет
(х0 - d, x0 + d) Ì [ , ],
откуда следует, что
£md(x0)
или, что то же самое, что
ji(x0) £ md(x0).
Устремив d к нулю и перейдя к пределу, находим, что при любом i
ji(x0) £ m(x0).
Этим самым лемма уже доказана для случая т(х0) = -¥. Пусть т(х0) >-¥и пусть
h < m(x0).
Тогда найдется такое d> 0, что md(x0) >h.
Фиксировав это d, найдем столь большое i0, что при i>i0будет
[ , ] Ì (х0 - d, x0 + d),