Интеграл и его свойства (стр. 3 из 6)

Интегралы вида

(m₁, n₁, m₂, n₂, … - целые числа). Эти интегралы подстановкой:

где s– общий знаменатель дробей

, , …, сводятся к рациональной функции от переменной t.

Интегралы вида

Для вычисления интеграла I₁ выделяется полный квадрат под знаком радикала:

и применяется подстановка:

, dx=du.

В результате этот интеграл сводится к табличному:

В числителе интеграла I₂ выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:

где I₁ – вычисленный выше интеграл.

Вычисление интеграла I₃ сводится к вычислению интеграла I₁ подстановкой:

Интеграл вида

Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.

Квадратный трехчлен ax²+bx+cпутем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде

Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:

Интеграл

подстановкой

u=ksint (или u=kcost)

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sintи cost.

Интегралы вида

(m, n, p єQ, a, b є R). Рассматриваемые интегралы, называемые интегралами от дифференциального бинома

, выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1) если p є Z, то применяется подстановка:

x=t^s,

где s– общий знаменатель дробей mи n;

2) если

Z, то используется подстановка:

a+bxⁿ=t^s,

где s – знаменатель дроби

3) если

Z, то применяется подстановка:

ax^-n+b=t^s,

где s – знаменатель дроби

9. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

Определение.Если существует конечный передел интегральной суммы (8)

- (8)

при λ→0, не зависящий от способа разбиения τ_nотрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξ_k, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:

Если указанный предел существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f(x)dxназывается подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, aи b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения λ стремится к нулю.

Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и f(x) ≥ 0. Фигура, ограниченная графиком АВ функции y=f(x), прямыми x=a, x=bи осью Ох (рис. 1), называется криволинейной трапецией.

Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а сумма представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры (изображенной на рис. 1). Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения τ_nотрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора точек ξ_k.

Чем меньше

, k=1, n, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь S криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы при λ→0:

Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

10. Основные свойства определенного интеграла.

Рассмотрим свойства определенного интеграла.

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

Это свойство следует из определения интеграла.

2. Если f(x)=1, то

Действительно, так как f(x)=1, то

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

R.

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

6 (аддитивность определенного интеграла). Если существует интегралы

и

то существует также интеграл

и для любых чисел a, b, c;