Интеграл и его свойства (стр. 4 из 6)
7. Если f(x) ≥ 0 
[a; b], то
a < b.8 (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и φ(x) удовлетворяют неравенству f(x) ≥ φ(x) [a; b], то
a >b.9 (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно нименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то
a < b.10 (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка 
[a; b], что
т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.
11. Теорема о среднем.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что
т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.
12. Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования aи b. Если оставить постоянным нижний предел интегрирования a, а верхний х изменять так, чтобы x є [a; b], то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида:
xє [a; b],называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х. Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой t, а верхний предел интегрирования – буквой х.
Теорема.Производная определенного интеграла от непрерывной функции f(x) по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:
Формула Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a; b] от непрерывной функции f(x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x=b и x=a.
- (9)13. Замена переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.
Замена переменнойв определенном интеграле. Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.
Теорема. Если функция f(x) непрерывная на отрезке [a; b], а функция x=φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [t1; t2], причем φ([t1; t2])=[a; b] и φ(t1)=a, φ(t2)=b, то справедлива формула:
- (10)Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые на отрезке [a; b] функции переменной х. Тогда d(uv)=udv+vdu. Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке [a; b]:
- (11)С другой стороны, по формуле Ньютона-Лейбница
Следовательно, формула (11) принимает вид:
- (12)Формула (12) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.
15. Вычисление площадей плоских фигур.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x) ≥ 0], прямыми x=aи x=bи отрезками [a; b] оси Ох, вычисляется по формуле:
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x)[f1(x) ≤ f2(x)] и прямыми x=aи x=b, находится по формуле:
Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=bи отрезком [a; b] оси Ох, выражается формулой:
где t1 и t2 определяются из уравнений a=x(t1), b=x(t2) [y(t) ≥ 0 при t1 ≤ t ≤ t2].
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α < β), выражается интегралом:
16. Определение и вычисление длины кривой, дифференциал кривой.
Если кривая y=f(x) на отрезке [a; b] - гладкая (т. е. производная y’=f’(x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:
При параметрическом задании кривой x=x(t), y=y(t) [x(t) и y(t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра tот t1 до t2, вычисляется по формуле:
Если гладкая кривая задана в полярных системах координатах уравнением ρ=ρ(θ), α ≤ θ ≤ β, то длина дуги равна:
Дифференциал длины дуги. Длина дуги кривой определяется формулой:
где y=f(x) [a; b].Предположим, что в этой формуле нижний передел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется. Обозначим верхний предел буквой х, а переменную интегрирования буквой t. Длина дуги будет функцией верхнего предела:
Практические задания
1. Найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием:
1)
.Решение:
Проверка:
- верно.___________________________________________________________________________
2)
.Решение:
Проверка:
- верно.__________________________________________________________________________________
3)
.Решение:
