Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами (стр. 4 из 8)
Доказательство: Пусть
Имеем 
Отсюда
и
Таким образом
и так как
при 
, то отсюда вытекает непрерывность функции 
, и лемма доказана.ЛЕММА 4. Пусть k и p-натуральные числа. Тогда для любого d³0
(2.5)Доказательство: Индукция по k даёт формулу
Отсюда
и
Лемма доказана.
ЛЕММА 5. Пусть k-натуральное число, d>0,h>0.Тогда
(2.6)Если кроме того 0<d<h,то
(2.7)Доказательство: Докажем сперва неравенство (2.6). Рассмотрим случай для h£d. Найдём натуральное число p из условий
(2.8)Тогда h<pd-1, и так как
-является неубывающей функцией от h, то принимая во внимание (2.5) и (2.8), получим 
Рассмотрим случай для h<d. Найдём натуральное число p из условий
(2.9)Тогда h<pd, и так как
-является неубывающей функцией от h, то принимая во внимание (2.5) и (2.9), получим 
,и неравенство (2.6) доказано. Неравенство (2.7) вытекает из (2.6), так как d+h£2h для 0<d<h.
Неравенство (2.7) показывает, что для любой fº0 и любого натурального k
(2.10)Лемма доказана.
ЛЕММА 6. Пусть f имеет r-ю производную f(r). Тогда
(2.11)и для любого натурального k
(2.12)Доказательство: Оба неравенства непосредственно вытекают из формулы
Если k=0, то мы получаем формулу (2.11). Лемма доказана.§3. Обобщение теоремы Джексона.
Здесь будет получено небольшое усиление теоремы Джексона о наилучших приближениях периодических функций тригонометрическими полиномами.
Лемма 7. Пусть дано натуральное число k. Существует последовательность ядер{Kn(t)}(n=0,1,...), где Kn(t) есть тригонометрический полином порядка не выше n, удовлетворяющая условиям:
(3.1) 
(3.2) 
(3.3)Эту лемму можно считать известной. Как показывает простой подсчет, совершенно аналогичный проводившемуся Джексоном, в качестве ядер Kn(t) можно взять ядра Джексона достаточно высокой степени, то есть положить
где k0-целое, не зависит от n,
натуральное p определяется из неравенства 
,а bp выбираются так, чтобы была выполнена нормировка (3.1).
Лемма 8. Если последовательность ядер {Kn(t)} удовлетворяет всем условиям предыдущей леммы, то
(3.4)Доказательство. Имеем, пользуясь (3.2) и (3.3)
Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть k-натуральное число. Тогда
(3.5)Доказательство. Пусть последовательность ядер {Kn(t)} (n=1,1,2,...) удовлетворяет всем условиям леммы 7. Положим
Очевидно,
есть тригонометрический полином порядка не выше n-1. Оценим 
Имеем 
Поэтому
(3.6)Оценим последний интеграл. Полагая в неравенстве (2.6)
, получим, что 
Отсюда и из (3.4) следует:
Подставляя эту оценку в (3.6), получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.
Следствие 1.1. Пусть k-натуральное число, r-целое неотрицательное. Тогда
(3.7)В самом деле, согласно (2.12)
и применение теоремы 1 даёт (3.7).
§4. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна.
В этом параграфе формулируется одно обобщение неравенства С.Н.Бернштейна для производных от тригонометрического полинома.
Теорема 2. Пусть
. Тогда для любого натурального k 
(4.1)и неравенство обращается в неравенство в том и только в том случае, если
Доказательство этого неравенства опубликовано в работе С.Б.Стечкина [2].
Отметим несколько следствий из этого неравенства.
Следствие 2.1. (неравенство С.Н.Бернштейна):
(4.2)Полагая в (4.1)
, получаем 
(это неравенство доказано С.М.Никольским [5]) но по лемме 2 §2,
откуда и следует (4.2).
Два последних неравенства одновременно обращаются в равенство только в случае, если
Следствие 2.2. Пусть
. Тогда 
(4.3)Первое неравенство совпадает с утверждением теоремы 2, а второе вытекает из оценки
(4.4)Таким образом, для
средний член в (4.3) заключен между двумя пределами, зависящими только от q.Следствие 2.3. Пусть
. Тогда 
(4.5)В частности,
(4.6)Следствие 2.4. Пусть
Тогда 
(4.7)В частности, для
имеем 
(4.8)В самом деле, из (4.4) или (2.12) следует:
