Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами (стр. 5 из 8)
и остается воспользоваться неравенством (4.5).
Следствие 2.5. Пусть
Тогда 
. (4.9)Вторая половина неравенства совпадает со следствием 2.4, а первая непосредственно вытекает из (2.7).
§5. Дифференциальные свойства тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию.
В этом параграфе устанавливается, что если тригонометрический полином tn(x) близок к заданной функции f, то его модули непрерывности можно оценить через модули непрерывности f.
Теорема 3. Зафиксируем натуральные числа k и n и пусть
(5.1)Тогда для любого
(5.2) 
(5.3) 
(5.4)и
(5.5)Предварительные замечания. Неравенства (5.2) и (5.4) предпочтительнее для больших d, а (5.3)-для малых. Если
, то (5.2) сильнее, чем (5.4); однако (5.4) имеет более симметричную форму и часто удобнее в приложениях.Доказательство. Докажем (5.2). Пользуясь (2.1), (2.2) и (5.1), имеем
Докажем (5.5). Положим в (5.2)
. Тогда получим : 
после чего (4.5) даёт (5.5).
(5.3) следует из (5.5) в силу (2.11).
Остаётся доказать (5.4). Пусть сперва
. Тогда из (5.4) следует: 
Рассмотрим, наконец, случай
. Из неравенства (2.7) выводим 
Подставляя эту оценку в (5.3), получаем (5.4) для
.Таким образом, теорема полностью доказана.
Следствие 3.1. Пусть для некоторого натурального k и любого натурального n
(5.6)Тогда для любого d>0
(5.7)равномерно относительно n.
Следствие 3.2. Пусть для некоторого натурального k и любого натурального n
Тогда
(5.8)Теорема 4. Для того, чтобы
, необходимо и достаточно, чтобы 
(5.9)равномерно относительно n.
Это вытекает из теоремы 1, следствия 3.1 и того замечания что если выполнено условие (5.9), то
.Теорема 5. Для того, чтобы
, необходимо и достаточно, чтобы 
(5.10)Это доказывается аналогично теореме 4, только вместо следствия 3.1 нужно воспользоваться следствием 3.2.
Неравенства теоремы 3 имеют тот недостаток, что их правые части явно зависят от константы С20. Таким образом, если вместо фиксированного номера n и одного полинома tn рассматривать последовательность полиномов {tn} (n=1,2,...), то С20 окажется, вообще говоря, независящей от n и теорема 3 даёт оценки, не равномерные относительно n. Покажем как избавиться от этого неудобства.
Теорема 6. Пусть для некоторого натурального k
(5.11)и
(5.12)Тогда для любого d>0
(5.13)равномерно относительно n.
Доказательство. Пусть сперва
. Из неравенства (5.2) следует, что 
и на основании (5.11)
(5.14)Рассмотрим случай
. Положим в (5.14) . Тогда получим 
Из этого неравенства, в силу (4.7), следует, что
Но так как, по условию,
, то 
Отсюда
Окончательно,
и теорема доказана.
В следующем параграфе будет показано, как можно видоизменить ограничения (5.11) теоремы 6.
§6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и
Ш. Валле-Пуссена.
В этом параграфе обобщаются и уточняются так называемые “обратные теоремы” теории приближения. Речь идёт об оценке дифференциальных свойств функции f, если известны свойства последовательности её наилучших приближений {En}.
Лемма 9. Зададим натуральное число k, и пусть
(6.1)и
. (6.2)Тогда
(6.3)Доказательство. Имеем, согласно (2.1),
Но из (2.10) и (6.2) получаем
а из (2.2) и (6.1)
Поэтому
левая часть этого неравенства не зависит от n, а поэтому
и лемма доказана.
Для получения хороших оценок
обычно достаточно взять 
. Однако на исключена возможность, что в некоторых случаях другой выбор 
может оказаться предпочтительнее.Теорема 7. Пусть k-натуральное число, функция
не убывает и 
(6.4)Для того чтобы
, необходимо и достаточно выполнение условия 
(6.5)Доказательство. Необходимость условия (6.5) вытекает из следствия 3.2. Установим его достаточность, для чего воспользуемся леммой 9. Получаем:
Положим здесь
; тогда для 
будем иметь 
и 
поэтому 
и теорема доказана.
Отметим два следствия из этой теоремы.
Следствие 7.1. Пусть k-натуральное число, функция
не убывает и 
(6.6)Для того чтобы
, необходимо и достаточно выполнение условия 
(6.7)Следствие 7.2. Пусть k-натуральное число и
Если 
и
(6.8)