Рис.2.Виды сеток и
их локальные уточнения.
прямоугольных сетках.Он является точным, если значения величин в каждой точке сетки могут быть описаны полиномом второго порядка.
3.1.1 Дискретизация уравнения Пуассона
В настоящее время для конструирования разностных схем, аппроксимирующих исходные дифференциальные уравнения, применяют различные методы. Например, с помощью интегро-интерполяционного метода, предложенного А.Н.Тихоновым и А.А.Самарским естественным образом можно получить следующую схему [1].
В области V={(x,y),0<x<Lx,0<y<Ly} (рис.1.) вводится неравномерная сетка
x0=xi+hi+1, yj+1=yj+rj+1
hi,rj-шаги сетки.
Проинтегрировав уравнение Пуассона [2], представленного в интегральной форме (1.53), по области Vij={(x,y),xi-1/2<=x<=xi+1 , yj-1/2 <=y<=yj+1/2} (рис.3.)
получим разностный аналог уравнения Пуассона в точках, принадлежащих полупроводниковой среде,в виде :
rj* +hi* =rkhi*rj* (3.11)Здесь приняты обозначения :
rk=pk-nk+Nk, rj*=(rj-1+rj)/2, hi*=(hi-1+hi),
В узлах сетки,лежащих в диэлектрике, разностный аналог полевого уравнения совподает с (3.11) если положить rk=0.
Если поделить обе части уравнения на -hi*rj* то можнопереписать левую часть уравнения при помощи разностного оператора Dhr[1], тогда разностный аналог уравнение Пуассона примет вид :
Рис.3. Ячейка алгебраизации уравнения Пуассона.
Рис.4. Ячейка алгебраизации уравнения непрерывности.
(Dhrj)k=-rk(*)
Схемы такого типа выражают на сетке законы сохранения и называются консервативно разностными схемами.
3.1.2.Дискретизация уравнения непрерывности.
Аппроксимируя интегральную форму электронного уравнения непрерывности (1.51) на элементарной ячейке Vi(рис.4.), отвечающей лежащему в полупроводниковой среде k-му узлу сетки пространственной дискретизации
получим: (Jn)i+1/2,j= 
5[nk+1- exp(jk+1-jk)nk]; (3.12)
анологичные выражения получаются для других плотностей тока [2].
После введения разностных операторов Dn, Dp [1] разностная схема для уравнения непрерывности запишется в виде:
(Dnj)n)k=R(pk,nk), (Dpj)n)k=R(pk,nk),
3.2.Решение нелинейной алгебраической задачи.
3.2.1Метод установления. После построения разностной схемы получаем систему нелинейных уравнений большой размерности и возникает проблема разработки эффективных методов для её решения. Одним из широко применяемых методов решения систем разностных уравнений, возникающих при дискретизации стационарных нелинейных задач для уравнений в частных производных, является метод установления [4]. Суть его заключается в следующем: задаются некоторые начальные условия, а затем решается нестационарная задача, решение которой при t®¥ стремится к решению исходной стационарной задачи. Поскольку при решении стационарных задач интерес представляет лишь предельное при t®¥ решение нестационарной задачи, то величина шага по времени выбирается только из соображений устойчивости и наибольшей скорости сходимости алгоритма, т.е. величина шага по времени является итерационным параметром, регулирующим сходимость метода. Рассмотрим метод следущий для решения нелинейной системы разностных уравнений (*)-(**) [1]:
(Dhrj l+1)k= -pkl+nkl-Nk (3.21) 
((Dnj l+1)nl+1)k=R(pkl,nkl) + , (3.22) 
((Dpj l+1)pl+1)k=R(pkl,nkl) + , (3.23)где l=0,1,2… -номер итерации, t-итерационный параметр;
n0,p0-заданные начальные приближения. Таким образом алгоритм следующий:
1.Считаем правую часть известной с предыдущей итерации и решаем систему линейных уравнений (3.21) с соответствующими краевыми условиями.в результате определяем j l+1 .
2.Считаем j l+1 и R(pl,nl) известными и решаем систему линейных уравнений (3.22) и (3.23) .В результате определяем nl+1,pl+1.
3.Полагаем l=l+1 и переходим к пункту 1.
Итерации заканчиваются, если изменения j,n и p на двух последовательных итерациях достаточно малы.
Этот метод может быть эффективно использован лишь для приборов с (Nd+Na)<=1017см-3
3.2.2 Другой вариант метода установления .
Отличие от предыдущего метода состоит в том , что в правую часть уравнения Пуассона введена разностная производная потенциала j по времени.
(Dhrj l+1)k= -pkl+nkl-Nk +(3.24)Скорость сходимости этого метода выше чем, метода (3.21)-(3.23), однако этот метод также неэффективен для структур с (Nd+Na)»1020см-3.
3.2.3.Методы линеаризации для решения нелинейной системы разностных уравнений .
Рассмотрим другую группу методов решения нелинейной системы разностных уравнений (*)-(**). Эти методы значительно более эффективны, чем методы установления, и широко применяются в практике расчётов полупроводниковых приборов.
Общая идея, положенная в основу данных методов, заключается в той или иной линеаризации исходной системы уравнений .Впервые метод такого типа был предложен Гуммелем.
Рассматривая задачу (*)-(**), предположим, что нам известно l-е приближение к решению системы: jl, nl, pl.Проведя ряд преобразований [1] получим :
(Dhrjl+1)k=nkl-pkl-Ndk+Nak+(nkl+pkl)(jkl+1-jkl) (3.25)
